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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 1h

  1. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.

h.

∮ C 2 x - y d x + x + 3 y d y

C é a fronteira do pentágono de vértices 0,0 , 0,2 , 1,3 , 2,2 , 2,0

Passo 1

OIii, nesse exercício vamos usar truques para resolver os nossos problemas. Na seção 6.3 tivemos que exaustivamente calcular as integrais de linha, agora temos o teorema de Green que diz

∮ C F x , y ⋅ d r = ∫ ∫ R ∇ × F d A

Outra maneira de ver isso é

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

OU seja, o trabalho do nosso campo ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa a área dentro dessa borda. O pratico do teorema de Green é que não precisamos mais procurar por parametrizações. É só calcular áreas. Então bora cair dentro!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos o seguinte campo

F = 2 x - y , x + 3 y

Vamos então usar o teorema de Green.

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

Vamos calcular o rotacional dessa função

= ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

= 1 - ( - 1 )

= 2  

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

∫ ∫ R 2 d A

2 ∫ ∫ R d A

Logo nosso problema se resume a calcular a área da nossa região : pentágono de vértices 0,0 , 0,2 , 1,3 , 2,2 , 2,0 . Geograficamente temos

Nossa área podemos calcular como a área do quadrado ABDE + a área do triangulo BCD

A = b ⋅ h 1 + b ⋅ h 2 2

A = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 2

A = 5

Logo nossa integral fica

2 ∫ ∫ R d A = 2   5

= 10

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C 2 x - y d x + x + 3 y d y = 10

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Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n
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Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.1. ∮ C l n x - 2 y d x + 2 x + e y d y , ao longo da elipse x 2 + y 2 9 = 1 , no sentido horário.