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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 40

(a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano R 2 )

I = ∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = lim a → ∞ ⁡ ∬ D a   e - x 2 + y 2   d A

onde D a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é

∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = lim a → ∞ ⁡ ∬ S a   e - x 2 + y 2   d A

onde S a é o quadrado com vértices ± a ,   ± a . Use esse resultado para mostrar que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = π

(c) Deduza que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

(d) Fazendo a mudança de variável t = 2   x , mostre que

∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.)

Passo 1

  1. Beleza, galera?

    2. A questão pede mostrarmos que:

    ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

    E faremos isso simplesmente calculando a integral. Pra resolver a integral, vamos passá-la para coordenadas polares. Da equação da circunferência, podemos tirar que:

    x 2 + y 2 = r 2

    Então nosso integrando ficará:

    e - x 2 + y 2 = e - r 2

    Quanto aos limites de integração, que para as coordenadas retangulares são ( - ∞ , ∞ ) podemos pensar assim:

  • Para r , como temos valores constantes, nosso raio começa em 0 e pode assumir qualquer valor até infinito:

    • 0 ≤ r ≤ ∞

  • Como ( - ∞ , ∞ ) são todos os valores possíveis, sem restrições, se estendermos essa lógica para ângulos, teremos toda a área circular:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2   r   d r   d θ

Resolvendo a integral de dentro e aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞   d θ = ∫ 0 2 π - e - ∞ 2 2 + - e - 0 2 2   d θ

Como: e - ∞ 2 = 0 e e - 0 2 = 1 , temos:

∫ 0 2 π - e - ∞ 2 2 + - e - 0 2 2   d θ = ∫ 0 2 π 1 2   d θ

Resolvendo a integral que sobrou:

∫ 0 2 π 1 2   d θ = θ 2 0 2 π = π

Passo 2

  • A questão quer que a gente chegue em:

    • ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

    Usando:

    ∬ R 2   e - x 2 + y 2   d A = lim a → ∞ ⁡ ∬ S a   e - x 2 + y 2   d A

    Pra chegarmos ao resultado pretendido nesse item, basta dar uma ajeitada na integral pra deixá-la igual à do item anterior. Quando temos somas no expoente, podemos escrever como uma multiplicação de potências de mesma base, assim:

    ∬ S a   e - x 2 + y 2 = ∬ S a   e - x 2 ⋅ e - y 2 d A

    Aplicando o limite:

    lim a → ∞ ⁡ ∬ R 2   e - x 2 ⋅ e - y 2 d A = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 ⋅ e - y 2 d x   d y

    Agora podemos separar a integral do produto no produto de integrais, cada qual com sua respectiva variável de integração:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 + y 2   d y   d x = π

    Passo 3

    (c) Galera, repare que a variável ( x ou y ) não faz a menor diferença nesse caso, o resultado será o mesmo independentemente de como chamamos a variável:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y

    Então, podemos substituir:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x

    Como temos uma multiplicação de integrais igual, podemos escrever:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2

    Ou seja, podemos escrever a equação:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2 = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x   ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y

    E a partir do item anterior:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x 2 = π

    Aplicando a raiz quadrada dos dois lados:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

    Passo 4

  • Aqui queremos chegar no resultado:

    • ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

    Resolvendo essa integral fazendo uma mudança de variável, onde t = 2   x . Olhando pra integral do item anterior:

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

    vamos fazer a mudança de variável:

    t = 2   x   ,                     x 2 = t 2 2   ,                     d x = 1 2   d t

    Então ficaremos com:

    π = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - t 2 2 1 2   d t

    = 1 2 ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x

    Ou seja,

    1 2 ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = π

    ∫ - ∞ ∞ e - x 2 2 d x = 2 π

    Resposta

    Resposta em cada parte.

    Ver Outros Exercícios desse livro

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