Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 90
Seja .
(a) Mostre que, se , então
(b) Deduza que .
(c) Use e na parte (b) para mostrar que é crescente.
(d) Use e na parte (b) para mostrar que .
(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que para todo .
(f) Use o Teorema para mostrar que existe. (O limite é . Veja a Equação , no Volume .)
Passo 1
Fala galerinha! Aqui a gente tem uma sequência com o seguinte termo geral:
E temos que provar mil coisas. Eu sei que esse enunciado tá meio assustador, mas vamos com calma e vamos conseguir.
Repara que pra valores positivos de , a sequência vai ser sempre positiva. Já sabemos algo dela.
Agora vamos pro item (a)!
Passo 2
(a) Aqui queremos provar que, se , então
Pra mostrar essa desigualdade, lembre-se dessa fatoração:
Então, substituindo no numerador:
Simplificando ficamos com:
Como , vamos fazer uma jogada interessante. Vamos pegar essa expressão acima, trocar por , que é maior, e assim podemos dizer que:
Calma, não se assusta! Repara que esses produtos que se formaram do lado direito tem os expoentes casadinhos e tudo vai ficar :
Repare também que são termos , então:
Show! Pronto! Provamos!
Passo 3
(b) Agora temos que deduzir que .
Bora usar a desigualdade que mostramos no item anterior?
Jogando pro outro lado:
Aplicando a distributiva:
E jogando pra esquerda tudo que tem :
E colocando em evidência:
Pronto!
Passo 4
(c) Use e na parte (b) para mostrar que é crescente.
Agora vamos substituir e na desigualdade do item anterior, beleza?
Mexendo dentro dos colchetes:
Assim, provamos que é crescente, pois .
Passo 5
(d) Use e na parte (b) para mostrar que .
Voltaremos a usar a desigualdade do item (b):
mas com e :
Dentro dos colchetes:
Como os dois lados são positivos, podemos elevar ao quadrado:
Passo 6
(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que para todo .
Galera, no item (b) a gente viu que é crescente, então:
pois . Mas, pelo item (d),
Então:
Ou seja,
Passo 7
(f) Use o Teorema para mostrar que existe. (O limite é . Veja a Equação , no Volume .)
Agora, olhando pro Teorema da Sequência Monótona, temos que toda sequência monótona limitada é convergente.
Já vimos que nossa sequência é monótona, pois é crescente.
Ela é limitada superiormente por , pois vimos que e podemos tranquilamente dizer que ela é limitada inferiormente por . Então ela é limitada. Logo, satisfaz as hipóteses do teorema, portanto é convergente, ou seja, o limite
existe!
Resposta
Demonstrações.