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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 1f

  1. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.

f.

∮ C x + y d x + y - x d y

C é a circunferência x 2 + y 2 - 2 a x = 0

Passo 1

OIii, nesse exercício vamos usar truques para resolver os nossos problemas. Na seção 6.3 tivemos que exaustivamente calcular as integrais de linha, agora temos o teorema de Green que diz

∮ C F x , y ⋅ d r = ∫ ∫ R ∇ × F d A

Outra maneira de ver isso é

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

OU seja, o trabalho do nosso campo ao percorrer a borda é igual ao fluxo que atravessa a área dentro dessa borda. O pratico do teorema de Green é que não precisamos mais procurar por parametrizações. É só calcular áreas. Então bora cair dentro!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos o seguinte campo

F = x + y ,   y - x

Vamos então usar o teorema de Green.

∮ C F 1 d x + F 2 d y = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A  

Vamos calcular o rotacional dessa função

= ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

=   - 1 - 1

=   - 2

Passo 3

Bora integrar!!!

∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

∫ ∫ R - 2 d A

- 2 ∫ ∫ R d A

O nosso problema se resume a calcular uma área agora. Nossa região é

x 2 + y 2 - 2 a x = 0

Vamos deixar essa equação de círculo no formato canônico. Para isso vamos completar quadrados.

x 2 - 2 a x + a 2 - a 2 + y 2 = 0

x - a 2 + y 2 = a 2  

Logo é um círculo transladado para a direita. E com raio a . Podemos usar a formula da area do circulo

A = π r 2

A = π a 2

Com isso nossa integração fica

- 2 ∫ ∫ R d A → - 2   π a 2

- 2 π a 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ C x + y d x + y - x d y =   - 2 π a 2

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Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s θ ,y = 2 s e n θ .
8. ∮ C f → ⋅ d r → , onde f → = ( x 2 + 4 x y , 2 x 2 + 2 x + y 2 ) e C é a elipse x 2 + 4 y 2 = 16 , no sentido anti-horário