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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 39

Estabeleça as seguintes propriedades das funções vetoriais integráveis.

  1. A regra da multiplicação por escalar constante:

    2. ∫ a b k r t d t = k ∫ a b r t d t dt (k qualquer escala)

    A regra para negativos,

    ∫ a b - r t d t = - ∫ a b r t d t ,

    é obtida tomando k = –1.

  2. As regras da soma e da diferença:

    3. ∫ a b r 1 t ± r 2 t d t = ∫ a b r 1 t d t ± ∫ a b r 2 t d t

  3. As regras de multiplicação por vetor constante:

∫ a b C ⋅ r t d t = C ⋅ ∫ a b r t d t (qualquer vetor constante C)

E

∫ a b C × r t d t = C × ∫ a b r t d t (qualquer vetor constante C)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Força, bora para mais um.

Vamos abrir a função vetorial r(t) para todos os exercícios:

r t = f t i + g t j + h t k

  1. ∫ a b k r t d t = ∫ a b k f t d t   i + g t d t   j + h t d t   k d t

    = ∫ a b k f t d t + ∫ a b k g t d t + ∫ a b k h t d t

    = k ∫ a b k r t d t

    Da mesma forma para k = - 1 .

    Passo 2

  2. ∫ a b r 1 t ± r 2 t d t

    = ∫ a b f 1 t i + g 1 t j + h 1 t k ± f 2 t i + g 2 t j + h 2 t k d t

    = ∫ a b f 1 t ± f 2 t i + g 1 t ± g 2 t j + h 1 t ± h 2 t k d t

    = ∫ a b f 1 t ± f 2 t d t   i + ∫ a b g 1 t ± g 2 t d t   j + ∫ a b h 1 t ± h 2 t d t   k

    = ∫ a b f 1 t d t   i ± ∫ a b f 2 t d t   i + ∫ a b g 1 t d t   j ± ∫ a b g 2 t d t   j + ∫ a b h 1 t d t   k ± ∫ a b h 2 t d t   k

    = ∫ a b r 1 t d t ± ∫ a b r 2 t d t

    Passo 3

  3. Vamos tomar a constante C = c 1 i + c 2 j + c 3 k .

∫ a b C ⋅ r t d t

= ∫ a b c 1 f t i + c 2 g t j + c 3 h t k d t

= c 1 ∫ a b f t d t i + c 2 ∫ a b g t d t   j + c 3 ∫ a b h t d t   k

= C ⋅ ∫ a b r t d t

E agora o produto vetorial:

∫ a b C × r t d t

= ∫ a b c 2 h t - c 3 g t i + c 3 f t - c 1 h t j + c 1 g t - c 2 f t k d t

= c 2 ∫ a b h t d t - c 3 ∫ a b g t d t i + c 3 ∫ a b f t d t - c 1 ∫ a b h t d t j + c 1 ∫ a b g t d t - c 2 ∫ a b f t d t k

= C × ∫ a b r t d t

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

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