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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 22

O comprimento de um retângulo é 4 cm a mais do que sua largura e essa diferença de 4 cm mantém-se quando o retângulo aumenta de tamanho. Se A w c m 2 for a área do retângulo e w cm for a largua, ache a taxa média de variação de A ( w ) com respeito a w , quando w varia de (a) 3,000 a 3,200; (b) 3,000 a 3,100; (c) 3,000 a 3,010; (d) 3,000 a 3,001. (e) Qual a taxa de variação instantânea de A ( w ) com relação a w 1 quando w for 3 .

Passo 1

Primeiro devemos lembrar que a área do retângulo é dada pelo comprimento da base vezes o da altura, sendo assim,

A w = x ( x + 4 )

Também precisamos lembrar que para calcular a taxa média em um intervalo [ a , b ] , nós fazemos:

T a x a   M é d i a = w b - w a b - a

Agora basta aplicar no nosso problema.

Passo 2

  1. 3,000 a 3,200

    2. Vamos aplicar a fórmula para o intervalo [ 3,000 ; 3,200 ] .

    T a x a = 3,2 ( 3,2 + 4 ) - 3 ( 3 + 4 ) 3,2 - 3 = 23,04 - 21 0,2 = 10,2

    T 3,000 ; 3,200 = 10,2  

    Passo 3

  2. 3,000 a 3,100

    3. Vamos aplicar a fórmula para o intervalo [ 3,000 ; 3,100 ] .

    T a x a = 3,1 ( 3,1 + 4 ) - 3 ( 3 + 4 ) 3,1 - 3 = 22,01 - 21 0,1 = 10,1

    T 3,000 ; 3,100 = 10,1  

    Passo 4

  3. 3,000 a 3,010

    4. Vamos aplicar a fórmula para o intervalo [ 3,000 ; 3 , 01 0 ] .

    T a x a = 3,01 ( 3 , 0 1 + 4 ) - 3 ( 3 + 4 ) 3 , 0 1 - 3 = 21,1001 - 21 0 , 01 = 10 , 0 1

    T 3,000 ; 3,01 0 = 10 , 0 1  

    Passo 5

  4. 3,000 a 3,001

Vamos aplicar a fórmula para o intervalo [ 3,000 ; 3 , 001 ] .

T a x a = 3,001 ( 3 , 0 01 + 4 ) - 3 ( 3 + 4 ) 3,0 0 1 - 3 = 21,010001 - 21 0,0 0 1 = 10,0 0 1

T 3,000 ; 3,001 = 10,0 0 1  

Passo 3

Para achar a taxa de variação instantânea, nós precisamos calcular A ' ( 3 ) .

Derivando A w = x x + 4 = x 2 + 4 x , nós ficamos com:

A ' x = 2 x + 4     →         A ' 3 = 6 + 4 = 10

Sendo assim, a taxa de variação instantânea será 10 .

Resposta

  1. 10,2
  2. 10 , 1
  3. 10,01
  4. 10,001
  5. 10
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