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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 48

48. Se x^n y^m = ( x + y )^(n + m) , prove que x (d y)/(d x) = y

Passo 1

O enunciado da questão não nos traz muitas informações, mas para provar o que ele pede basta utilizar o que foi dado no enunciado e o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a expressão dada, temos

n . x^(n - 1) . (d x)/(d x) . y^m + x^n . m . y^(m - 1) . (d y)/(d x) = (n + m) . (x + y)^(n + m - 1) . (d x)/(d x) . ( 1 . (d x)/(d x) + 1 . (d y)/(d x) )

Passo 3

Obtendo a igualdade necessária

(n x^n y^m)/(x) + (m x^n y^m)/(y) . (d y)/(d x) = (n + m) . ((x + y)^(n + m))/(x + y) + (n + m) . ((x + y)^(n + m))/(x + y) . (d y)/(d x)

(m (x + y)^(n + m))/(y) . (d y)/(d x) - (n + m) . ((x + y)^(n + m))/(x + y) . (d y)/(d x) = (n + m) . ((x + y)^(n + m))/(x + y) - (n x^n y^m)/(x)

(x + y)^(n + m) . (d y)/(d x) ((m)/(y) - (n + m)/(x + y)) = (x + y)^(n + m) [(n + m)/(x + y) - (n)/(x)]

(d y)/(d x) (((x + y) m - y ( n + m ))/(y . ( x + y ))) = ((x (n + m) - n ( x + y ))/(x ( x + y )))

(d y)/(d x) ((m x + m y - n y - m y)/(y)) = ( (n x + m x - n x - n y)/(x) )

Portanto, x . (d y)/(d x) = y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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