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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 10

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x = y 2 x + y 4

Passo 1

A equação diferencial dada não é de primeira ordem em y . Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em x , devemos coloca-la na forma

d x d y + P y x = Q ( y )

Para y ≠ 0 , temos então:

d y d x = y 3 y - 2 x ⇒ d x d y = 2 x + y 4 y = 2 x y + y 3 ⇒ d x d y - 2 y x = y 3

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P y = - 2 y e Q y = y 3 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P y d y .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P y d y = ∫ - 2 y d y = - 2   l n ⁡ | y | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P y d x = e - 2   l n ⁡ | y | = e ln ⁡ y - 2 = y - 2 = 1 y 2

Multiplicando a equação diferencial por 1 y 2 :

1 y 2   d x d y - 1 y 2 ⋅ 2 y x = y 3 y 2 ⇒ y 2 d x d y - 2 y 3 x = y

Passo 3

Como d 1 / y 2 d y = - 2 y 3 , temos:

1 y 2   d x d y + d ( 1 / y 2 ) d y   x = y ⇒ d 1 y 2 x d y = y

Agora integrando:

∫ d x y 2   = ∫ y d y ⇒ x y 2 = y 2 2 + C ⇒ x = y 4 2 + C y 2

Resposta

x = y 4 2 + C y 2

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