(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y .

5 * x = y + y^3, 0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Nosso enunciado nos pede duas coisas diferentes, para montar a integral com a curva rodando em torno de x primeiramente e depois em torno de y .

Para a rotação em torno do eixo x primeiramente, vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d x d y 2 d y

Com y variando de 0 a 1

E para a rotação em torno do eixo y , vamos usar a fórmula 8 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π x   d s

Onde:

d s = 1 + d x d y 2 d y

Com x variando de:

x = 0 + 0 3 = 0

Até

x = 1 + 1 3 = 2

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d x d y .

d x d y = 1 + 3 y 2

Logo:

d s = 1 + ( 1 + 3 y 2 )   d y

Passo 3

Agora vamos montar as integrais, primeiro com a curva girando em torno x .

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 0 1 2 π y 1 + ( 1 + 3 y 2 )   d y

Agora para a curva girando em torno de y .

S = ∫ 2 π x   d s

= ∫ 0 2 2 π ( y + y 3 ) 1 + ( 1 + 3 y 2 )   d y

Resposta

i → ∫ 0 1 2 π y 1 + ( 1 + 3 y 2 )   d y

i i → ∫ 0 2 2 π ( y + y 3 ) 1 + ( 1 + 3 y 2 )   d y

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