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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 21

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

x = e y + e - y 2 ,       0 ≤ y ≤ l n l n   2   ;         e i x o   y

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que:

S = ∫ 0 l n l n   2   2 π e y + e - y 2 1 + e y - e - y 2 2       d y

Passo 2

Neste caso, podemos simplificar a integral através das seguintes relações:

c o s h c o s h   y = e y + e - y 2  

y = e y - e - y 2  

y - y = 1    

Logo:

S = 2 π ∫ 0 l n 2 c o s h c o s h   y   1 + s e n h 2   y   d y = 2 π ∫ 0 l n 2 c o s h c o s h   y   y       d y = 2 π ∫ 0 l n 2 y   d y      

Passo 3

Chegamos em uma integral tabelada:

∫ a x   d x = s e n h 2 a x 4 a + x 2 + C  

Assim, temos que:

2 π ∫ 0 l n 2 y   d y   = 2 π s e n h 2 y 4 + y 2 l n 2 0 = 2 π 2 s e n h y c o s h c o s h   y   4 + y 2 l n 2 0

Passo 4

Aplicando as propriedades ditas novamente, a fim de facilitar o cálculo quando aplicarmos os limites de integração, temos:

π e y + e - y 2 e y - e - y 2 + y l n 2 0

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S = π e y + e - y 2 e y - e - y 2 + y l n 2 0 = π [ 2 + 1 2 2 × 2 - 1 2 2 + l n l n   2 - 0 ] =  

= π ( 5 4 × 3 4 + l n l n   2 ) = π 15 16 + l n l n   2    

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

π 15 16 + l n l n   2  

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