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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.8 - Ex. 5b

Considere o elipsoide.

Determine uma condição suficiente sobre c para que toda trajetória cruzando V(x, y, z) = c esteja orientada para dentro.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos o elipsoide e precisamos calcular alguns pontos importantes. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de derivada.

V ( x ,   y ,   z )   =   c

d V d t < 0

d V d t = 2 r x d x d t + 2 σ y d y d t + 2 σ z - 2 r d z d t

d V d t =   - 2 σ     r x 2 + y 2 + b z - r 2 - b r 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

y o = c σ z o = 2 r + c σ

c > b r 2 + σ z - 2 r 2 - b z - r 2 + σ - 1 y 2

c < σ 2 b r σ - b - 1 ²  

Resposta

c < σ 2 b r σ - b - 1 ²  

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