Nas equações de Lotka-Volterra, a interação entre as duas espécies é modelada por termos proporcionais ao produto das duas populações. Se a população de presas for muito maior do que a de predadores, esse valor poderá ser muito maior do que as interações; por exemplo, um predador pode caçar só quando está com fome, ignorando a presa em outros momentos. Neste problema, vamos considerar um modelo alternativo proposto por Rosenzweig e MacArthur.

(a) Considere o sistema

Determine todos os pontos críticos desse sistema.

(b) Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico.

(c) Desenhe um campo de direções e um retrato de fase para esse sistema.

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos para o item (b). O item (b) pede para determinar o tipo e a estabilidade de cada ponto crítico. Para isso, vamos começar chamando:

Para definir cada ponto vamos aplicar agora a matriz jacobiana. Ela é dada por:

O primeiro ponto crítico é :

Então, e :

Portanto, para o ponto crítico temos , então este ponto é um ponto de sela instável.

Vamos agora para o segundo ponto crítico, :

Então, para este ponto teremos e . Portanto, e, assim, é um ponto de sela instável.

O terceiro ponto crítico é . Aplicando na jacobiana:

Então, temos uma raiz da forma , então o ponto é um nó assintoticamente estável.

Para o item (c) devemos agora desenhar o campo de direções e o retrato de fase do sistema. O primeiro passo será obter a derivada . Sabemos que:

Se fizermos :

Então:

Aplicando a derivada para diferentes pontos do plano , seremos capazes de obter o campo de direções do sistema. Usando o Excel devemos chegar em algo parecido com:

Para obter o retrato de fases devemos observar a tendência do campo. Ao fazer isso obtemos: