Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 20
Considere a equação diferencial
como um modelo para uma população de peixes, onde é medido em semanas e é uma constante.
(a) Use um SCA para desenhar campos de direções para diversos valores de .
(b) A partir dos campos de direções na parte (a), determine os valores de para os quais há pelo menos uma solução de equilíbrio. Para quais valores de a população de peixes sempre desaparece?
(c) Use a equação diferencial para demonstrar o que você descobriu graficamente na parte (b).
(d) Qual sua recomendação para o limite de pesca semanal para essa população de peixes?
Passo 1
(a)
(b)
(c) Beleza, galera? Aqui precisamos determinar para quais valores de existe pelo menos uma solução de equilíbrio. Mas pra termos uma solução de equilíbrio, a taxa de crescimento tem que ser nula:
Mas a gente sabe quem é a partir da equação do enunciado:
Chegamos então a uma equação quadrática:
Pra haver pelo menos uma solução de equilíbrio, temos que fazer o discriminante (delta) da equação ser maior ou igual a :
Passo 2
(d) Show! Agora pensa um pouco na situação dos peixes, vamos supor que as pessoas pescam peixes por semana dessa população. Isso seria o mesmo que dizer que existe uma perda constante de peixes por semana devido à pesca, então se deve subtrair da taxa de crescimento da população.
Mas isso é exatamente o que ocorre na nossa equação diferencial, a gente subtrai uma constante , que nesse caso, seria
Só que devemos tomar muito cuidado com essa pesca, porque já vimos nos itens anteriores, que não há soluções de equilíbrio quando então não dá pra pescar peixes por semana, se não a população vai desaparecer totalmente!
O mais recomendado, então, é sempre deixar a taxa de pesca abaixo de peixes por semana, tá bom?
Resposta
(c)
(d)