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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 18

Seja c um número positivo. Uma equação diferencial da forma

d y d t = k y 1 + c

onde k é uma constante positiva, é chamada equação do dia do juízo final porque o expoente na expressão k y 1 + c é maior que o expoente 1 do crescimento natural.

(a) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y 0 = y 0 .

(b) Mostre que existe um instante finito t = T (dia do juízo final) tal que lim t → T ⁡ y t = ∞ .

(c) Uma raça especialmente fértil de coelhos tem o termo de crescimento k y 1,01 . Se 2 destes coelhos se cruzarem inicialmente e a ninhada for de 16 coelhos depois de três meses, quando será o dia do juízo final?

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Parece estranha essa equação do dia do juízo final, mas vamos tentar resolvê-la?

d y d t = k y 1 + c

1 y 1 + c   d y = k   d t

Ela é separável, né? Agora é só integrar cada lado:

∫ 1 y 1 + c   d y = ∫ k   d t + A

Vish! Como faz a primeira integral? Parece complicada né? Mas olha de novo, como c é uma constante, ela é apenas uma integral do tipo:

∫ x - a   d x = x - a + 1 ( - a + 1 )

Então vamo lá!

y - 1 + c + 1 - 1 + c + 1 = k t + A

y - c - c = k t + A

Usando a condição inicial y 0 = y 0 , temos que

A = - 1 c y 0 c

Então, agora podemos chegar a expressão de y t :

1 y c = - c k t + 1 y 0 c

y t = 1 y 0 - c - c k t 1 c  

Passo 2

(b) Primeiramente, como vamos fazer com que y t tenda a infinito? Se soubermos responder a essa pergunta, conseguiremos achar quem é o instante T , provando que ele existe.

Olha bem, temos um denominador na expressão de y t , se a gente conseguir um valor de t tal que esse denominador vá pra 0 ,   o limite da fração inteira inteira iria pra ∞ , certo? Então bora!

y 0 - c - c k t 1 c = 0

y 0 - c - c k t = 0

t = y 0 - c c k

Pronto! Achamos T = y 0 - c c k

Passo 3

(c) Temos aqui uma espécie de coelho que se reproduz conforme a equação do dia do juízo final, e já sabemos a solução desse tipo de equação, né?

y t = 1 y 0 - c - c k t 1 c  

Como o expoente de y na expressão da taxa de crescimento é 1,01 , então c = 0,01 ,   beleza?

y t = 1 y 0 - 0,01 - 0,01 k t 1 0,01

Sabemos que no início só havia 2 coelhos, então y 0 = 2 .

Também nos foi informado que já havia 16 coelhos depois de 3 meses, ou seja, y 3 = 16 e podemos usar isso pra calcular a constante k :

y 3 = 16 = 1 2 - 0,01 - 0,01 k   .     3 100

2 - 0,01 - 0,0 3 k = 1 16 0,01

k = 2 - 0,01 - 1 16 0,01 0,03 ≈ 0,681

Agora, estamos para calcular o dia do juízo final:

T = y 0 - c c k = 2 - 0,01 0,01   .     0,681 ≈ 145,8   m e s e s

Resposta

(a) y t = 1 y 0 - c - c k t 1 c  

(b) T = y 0 - c c k

(c) T ≈ 145,8   m e s e s

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