Vamos modificar a equação logística do Exemplo como a seguir:

(a) Suponha que represente uma população de peixes no instante , onde é medido em semanas. Explique o significado do termo

(b) Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial.

(c) Quais são as soluções de equilíbrio?

(d) Use o campo de direções para esboçar várias curvas solução. Descreva o que acontece à população de peixes para várias populações iniciais.

(e) Resolva essa equação diferencial explicitamente, usando frações parciais ou com um sistema de computação algébrica. Use as populações iniciais de e . Trace as soluções e compare com seus esboços na parte (d).

(b) Agora vamos desenhar um campo de direções que represente a equação diferencial:

(c) As soluções de equilíbrio ocorrem quando a taxa de crescimento é nula, ou seja:

Resolvendo essa equação do grau, obtemos:

Então essas são as nossas soluções de equilíbrio!

(d) Agora vamos esboçar algumas soluções a partir do campo de direções:

A gente já viu que existem duas soluções de equilíbrio aí. Mas repare que as demais soluções tendem a se afastar de , e tendem a se aproximar de , né mesmo?

Quem começa com uma população abaixo de tende a se extinguir, e acima disso, tende a se estabilizar em .

(e) Agora, com o auxílio de um sistema de computação algébrica, vamos resolver a equação diferencial do enunciado, com populações iniciais de e . (Dá pra fazer por frações parciais também, fique à vontade hahaha)

E agora a gente traça essas soluções:

Repare que ficou bem parecido com o nosso esboço feito no item (d), para e .