Considere a função . Seja o plano tangente ao gráfico de no ponto , com e . Seja o volume do tetraedro determinado por e pelos planos coordenados.
- Expresse em função de e .
- Determine e para que se tenha e .
Passo 1
- Se estiver escrito da forma , podemos encontrar o volume do tetraedro pela integral, na região e delimitado pela intersecção do plano no plano , para isso, precisamos encontrar o plano .
- Primeiramente, vamos derivar em e
Calculando as derivadas em
E a função é dada por , substituindo
Passo 2
Para encontrar a região de integração, achamos a intersecção do plano com
Isolando
Quando
Temos então a região
E será dado por
Como ficou um pouco grande, vamos chamar
Passo 3
Integrando temos
Juntando e simplificando os termos semelhantes
Então temos
Substituindo o valor de
Passo 4
Colocando em evidência
Colocando em evidência
Por simetria entre as variáveis e
Passo 2
Igualando a derivada em a
Precisamos que o numerador seja , mas sempre então o que precisa ser igual a zero é
De forma semelhante, quando olhamos para a derivada em temos a igualdade
Multiplicando por
Temos o sistema
Somando as equações
Como
Encontrando