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Exercícios de Plano Tangente - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Considere a superfície S formada pelos pontos x , y , z ∈ R 3 satisfazendo a equação

x y z = e β x

Onde β é um número real.

  1. Escreva a equação do plano tangente a S no ponto P 0 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ∈ S
  2. Encontre β de modo que o plano tangente a S no ponto P 0 contenha a origem.

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Questão 2

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos x , y , z do gráfico de f onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana z = c ( c constante)

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Questão 3

Verifique que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto ( 1,1 , 2 ) .

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Questão 4

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 7 - x 2 - y 2 , que passam, ambos, pelos pontos 1,0 , 7 e 3,0 , 3 .

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Questão 5

Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado:

z = 9 - 5 x 2 - 3 y 2

P = ( 1 , - 1 )

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Questão 6

4) Seja f : R 2 → R dado por f x , y = x x 4 + y 2 . Decida se f admite plano tangente ao seu gráfico no ponto ( 0,0 , f 0,0 ) e, em caso afirmativo, escreva a equação deste plano.

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Questão 7

Seja 2 x - 3 y + z = 1 a equação do plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 3 ,   2 ) . Se x = u 2 + 2 , y = 2 u v e F u , v = f ( x u , v ,   y u , v ) , o valor de ∂ F ∂ u 1,1 é:

(a) 2

(b) -2

(c) 0

(d) 4

(e) -6

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Questão 8

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável e C a curva de equação f x , y = 2 . Assuma que o ponto ( 1,2 ) pertence a C e f x 1,2 = 1 e f y 1,2 = - 2 . Se x + a y + b = 0 é a equação da reta tangente a C em ( 1,2 ) , então a + b vale:

(a) 3

(b) 1

(c) -1

(d) 0

(e) 2

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Questão 9

A equação do plano tangente à superfície

z = 4 - x 2 - 2 y 2

no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) é igual a:

(a) 3 x - 2 y - z = 9

(b) 2 x - 2 y + z = 5

(c) x - 2 y + 2 z = 5

(d) x - 2 y + z = 4

(e) nenhuma das outras alternativas

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Questão 10

O plano tangente à superfície x 4 + y 2 + 2 z 2 = 4 no ponto ( 1,1 , 1 ) intercepta o eixo dos x quando:

(a) x = 1 4

(b) x = 1

(c) x = 5 2

(d) x = 0

(e) x = 2

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Questão 11

Seja S a superfície dada pela equação z = x 2 - y ² .

(a) Determine a equação do plano tangente T , num ponto genérico ( a , b , c ) de S .

(b) Determine os pontos de S , onde o plano tangente é paralelo ao plano

4 x + 2 y + z = 11

(c) Determine os valores numéricos de c e descreva a curva formada pelos pontos ( a , b , c ) de S , de tal modo que o plano tangente T , encontrado em (a), contenha a origem.

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Questão 12

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,2 ) é dado por x + 2 y + 3 z = 11 . Quanto valem f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) e f ( 1,2 ) , respectivamente?

(a) - 1 3 ,   - 2 3 e 2

(b) 1 , 2 e 11

(c) 1 ,   2   e 2

(d) 1 3 , 2 3 e 2

(e) - 1 3 ,   - 2 3   e 11

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Questão 13

Considere o elipsoide x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1 . Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?

(a) 1 2 , 1 2 , 1 2 e 1 2 , 1 2 , - 1 2 .

(b) 0,1 , 0 e ( - 1,0 , 0 ) .

(c) ( 0,1 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .

(d) ( 0,1 , 0 ) e ( 1,0 , 0 ) .

(e) ( 0,0 , 1 ) e ( 0,0 , - 1 ) .

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Questão 14

Considere a função f x , y = x ϕ x 2 - y 2 em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , a , f a , a contém a origem.

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Questão 15

Apenas uma das funções, f ou g , admite plano tangente a seu gráfico no ponto P = 0,0 , 0  

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

g x , y = x 2 + y 2 sin ⁡ y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) Determine uma equação para esse plano.

b) Justifique por que a outra função não admite plano tangente em P .

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Questão 16

Verifique que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto ( 1,1 , 2 ) .

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Questão 17

Determine os pontos da superfície x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 3 x - y + 3 z = 1 .

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Questão 18

Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide z = 2 x 2 + 3 y 2 e, simultaneamente, paralelo ao plano 4 x - 3 y - z = 10 .

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Questão 19

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 7 - x 2 - y 2 , que passam, ambos, pelos pontos 1,0 , 7 e 3,0 , 3 .

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Questão 20

Determine a equação do plano tangente à superfície z + 1 = x e y cos ⁡ z no ponto ( 1,0 , 0 ) .

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Questão 21

Duas superfícies são tangentes num ponto P , se elas tiverem um plano tangente comum no ponto P . Se as superfícies de equações

x 2 + y 2 - z = 0

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

São tangentes no ponto P = 1,2 , 5 , então o valor de a + b + c é

  1. 19
  2. 31
  3. - 12
  4. 13
  5. - 21

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Questão 22

Considere a superfície S formada pelos pontos x , y , z ∈ R 3 satisfazendo a equação

x y z = e β x

Onde β é um número real.

  1. Escreva a equação do plano tangente a S no ponto P 0 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ∈ S
  2. Encontre β de modo que o plano tangente a S no ponto P 0 contenha a origem.

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Questão 23

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável. Sabendo que 2 x + 5 y + 7 z + 3 = 0 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2,5 ) , determine

1 .   f ( 2,5 ) ;

2 .   ∇ f ( 2,5 ) ;

3 . ∂ f ∂ u → ( 2,5 ) , onde u → é o versor do vetor v → = ( 5,2 ) .

4. a reta tangente ao gráfico da função g t = f 3 sin ⁡ t + t 4 + 2,2 cos ⁡ t + e - 5 t + 2 no ponto da abscissa t 0 = 0 .

5 . o plano tangente ao gráfico de h u , v = u f u + v , u - v no ponto 7 2 , - 3 2 , h 7 2 , - 3 2 .

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Questão 24

Considere uma função f : R 2 → R de classe C 1 . Suponha que:

  1. A imagem da curva plana γ t = c o t g t , t   , para t ∈ ] 0 , π 2 [ , esteja contida numa curva de nível de f,
  2. A imagem da curva no espaço σ u = u 3 ,   u 2 + 1 , u 3 2 - u 3 2 + 1 , com u > 0 , esteja contida no gráfico de f.

c. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,2 , f 1,2 ) .

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Questão 25

Considere a função

f x , y = x y e x y

Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f em ( 1,0 , 0 ) , explicitando o normal ao plano neste ponto.

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Questão 26

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x + z - 6 x y + 6 y z = 1

e

S 2 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z = 1 .

Determine a equação de um plano que seja tangente à superfície S 1 e que contenha o ponto 0 ,   0 ,   0 . Quantos planos existem assim? Por quê?

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Questão 27

Considere a superfície quádrica S dada pela equação

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

(a) Identifique e esboce o gráfico de S mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados, x = 0 , y = 0 e z = 0 .

(b) Determine as equações paramétricas da curva γ , interseção de S com o plano x = 0 .

(c) Determine as equações paramétricas dos planos tangentes à S que são paralelos ao plano x - 4 y + 9 z = 1 .

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Questão 28

Seja S a superfície parametrizada por

r s , t = s 2 - t 2 ,   s + t ,   s 2 + 3 t .

Determine a equação cartesiana do plano tangente à S no ponto (3,1,1).

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Questão 29

Seja a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2

  1. Verifique se o plano tangente ao gráfico de f em x = 1 ,   y = 1 passa pela origem.

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Questão 30

Considere a superfície S =   x , y , z ∈ R 3 f x , y , z - 2 z = 0 }   e o ponto P 0 = x 0 , y 0 ,   z 0   ∈ S . O plano tangente a S em P 0 satisfaz a seguinte equação:

a) f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

b) f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0 + f z x , y , z - 2 z - z 0 = 0

c) z = z 0 + 1 2 f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0

d) z = z 0 + 1 2 f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0

e) Nenhuma das alternativas

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Questão 31

Encontre o ponto onde o plano tangente à superfície de equação z = e x - y no ponto ( 1,1 , 1 ) corta o eixo z

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Questão 32

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

  1. Escreva a equação do plano tangente a função no ponto 1,2 .

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Questão 33

Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Encontre e explicite uma função f ( x , y ) definida em todo R 2 e uma curva de nível g x , y = a ⊂ R 2 tal que C é a curva de interseção entre o gráfico de f e o cilindro vertical S sobre a curva g x , y = a , ou seja

    2. C = g r a f ( f ) ∩ S

    Onde

    g r a f f = x , y , z ∈ R 3     z = f x , y   ,   x , y ∈ R 2   }

    S = x , y , z ∈ R 3     g x , y = a ,   ( x , y ) ∈ R 2 }  

    Sugestão: encontre uma relação entre x ( t ) e y ( t ) e outra relação entre x ( t ) , y ( t ) e z ( t ) baseadas em relações trigonométricas básicas.

  2. Explicite o normal N ao gráfico de f (a mesma f do item c ) no ponto P = 2 4 , 2 4 , 2 e escreva a equação paramétrica do plano Ω tangente ao gráfico de f em P .

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Questão 34

Em quais pontos ( x , y , z ) da superfície

z = 8 + 2 ( x 2 + y 2 )

O plano tangente à superfície nesses pontos contém a origem ( 0 , 0,0 ) ?

  1. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 8
  2. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 16
  3. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 4
  4. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 1 e z = 10
  5. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 12

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Questão 35

Considere as superfícies do paraboloide S f : f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z = 3 , o plano S g : g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z = 6 e o ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

a) O plano tangente para a reta normal ao paraboloide, passando por P 0

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Questão 36

Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,1 ) é

x - 2 y + 3 z = 5

E

g u , v = f u + v , u - v

Quanto valem g u ( 1,0 ) e g v 1,0 , respectivamente?

  1. 1   e - 3
  2. - 1 3   e   1
  3. - 1   e - 3  
  4. 1 3   e - 1
  5. - 1   e   3

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Questão 37

Qual a equação do plano tangente a superfície de nível de ψ x , y , z = x 2 + 4 x y + y 4 + z que passa pelo ponto ( 2,1 , 3 ) ?

  1. x + 4 y + z = 9
  2. 3 x + y + 2 z = 32
  3. 8 x + 12 y + z = 31  
  4. 2 x - 2 + y - 1 + 3 z - 3 = 0
  5. 2 z + y + 3 z = 16

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Questão 38

Determine todos os pontos da superfície de nível 1 da função

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Em que seu plano tangente é paralelo ao plano

2 x + y - 3 z = 2

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Questão 39

Considere a função dada por z = e y ϕ ( x - y ) , em que ϕ é uma função diferenciável de uma variável real.

  1. Suponha que ϕ 0 = a e ϕ ' 0 = b , em que a e b são números reais. Determine a equação do plano tangente à superfície, dada pela equação z = e y ϕ ( x - y ) , no ponto 0 ,   0 ,   a .

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Questão 40

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,2 ) é dado por

x + 2 y + 3 z = 11

Quanto valem f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) e f ( 1,2 ) , respectivamente?

  1. - 1 3 ,   - 2 3   e   2
  2. - 1 3 ,   - 2 3   e   11
  3. 1 3 , 2 3   e   2
  4. 1 ,   2   e   11

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Questão 41

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável tal que z = 3 x + y - 2 é equação do plano tangente a f em ( 1,1 , f 1,1 ) .

(a) Obtenha ∂ f ∂ x ( 1,1 ) e ∂ f ∂ y ( 1,1 ) .

(b) Seja g u , v = f ( u 2 + 3 v , v 2 ) . Obtenha as expressões de ∂ g ∂ u u , v   e ∂ g ∂ v u , v em função das derivadas parciais de f .

(c) Seja γ uma curva diferenciável tal que a sua imagem está contida na intersecção do gráfico de g com a superfície S = { u , v , w ∈ R 3   :   u 2 + v 2 + w 2 - 4 u + 2 v + 1 = 0 } . Dê a equação da reta tangente a γ no ponto ( 2 , - 1 , g 2 , - 1 ) .

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Questão 42

Qual é a equação do plano tangente ao gráfico da função f x , y = x cos ⁡ y + x 2 y no ponto x , y = 1,0 ?

a) - x - y + z = 2

b) z = x + y

c) x + y + z = 0

d) x - 1 + y + z - 1 = 0

e) z = 1 - x - y

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Questão 43

Seja C a curva espacial parametrizada por

α t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ t , 3 sen ⁡ t sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t

t ∈ 0 , π 2

  1. Encontre uma superfície S dada por f x , y , z = c tal que o traço de α   esteja completamente contido em S . Exiba o normal N de S no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) .
  2. Considere P = 1 , 3 2 ,   2 2 . Escreva a equação cartesiana do plano Π , tangente a S no ponto P .
  3. Escreva a equação paramétrica do plano Π , tangente a S no ponto P .
  4. Escreva a equação cartesiana do plano Ω passando por P , sabendo que α ' π 4 e N são tangentes a Ω em P .
  5. Encontre um ponto P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ S tal que o vetor normal a S em P 1 é paralelo ao vetor 0 , 2 3 , 2 4 .

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Questão 44

Duas superfícies que passem por um mesmo ponto P são ditas tangentes neste ponto se elas tiverem um plano tangente comum em P .

Se as superfícies de equações

x 2 + y 2 - z = 0

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

São tangentes no ponto P = ( 1,2 , 5 ) , então o valor de a + b + c é:

  1. 19
  2. - 21
  3. 31
  4. 13
  5. - 12

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Questão 45

Encontre as equações dos planos tangentes ao gráfico de

f x , y = 24 - x 2 + y 2

Que passam por ambos os pontos ( 2,0 , 0 ) e ( 3,0 , 4 ) .

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Questão 46

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f - 1 2 , - 1 2 2 = - 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em - 1 2 , - 1 2 2 , - 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z - 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Questão 47

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f 1 2 , 1 2 2 = 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em 1 2 , 1 2 2 , 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z = 0
  3. - x - 2 y + 6 z + 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Questão 48

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f - 1 2 , - 1 2 2 = 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em - 1 2 , - 1 2 2 , 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z - 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Questão 49

7.a) Encontre a equação da reta tangente à curva

y 2 = e 2 x y

no ponto - e , 1 e .

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Questão 50

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos x , y , z do gráfico de f onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana z = c ( c constante)

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Questão 51

Considere a função

f x , y , z = x 2 + x y + y 2 - z 2

E a superfície

S = x , y , z ∈ R 3 f x , y , z = 1

  1. Determine quais dos pontos abaixo pertencem à superfície S :

    2. P 1 = 1,0 , 0 ,           P 2 = 1 , - 1 , 3 ,           P 3 = 1,0 , - 1

  2. Escolha um ponto do item anterior que pertença à superfície S . Escreva a equação cartesiana do plano tangente a S passando por esse ponto.
  3. Considere os pontos P = 1 , - 1,0 e Q = 0,1 , 0 pertencentes à superfície S . Considere o vetor v - = 1,1 , 3 2 . Seja r 1 a reta passando por P com vetor diretor v - , e seja r 2 a reta passando por Q com vetor diretor v - . Determine se r 1 é tangente a S no ponto P , e se r 2 é tangente a S no ponto Q . Justifique sua resposta

OBS: Uma reta é tangente a superfície S em um ponto x 0 , y 0 , z 0 ∈ S se e somente se a reta passa pelo ponto x 0 , y 0 , z 0 e está contida no plano tangente à superfície neste ponto.

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Questão 52

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

A equação do plano tangente à superfície descrita pela equação x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0 no ponto ( - 2,2 , 0 ) é dada por: 3 x - 4 y + 14 = 0 .

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Questão 53

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

A equação do plano tangente à superfície descrita pela equação x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0 no ponto ( - 2,2 , 0 ) é dada por: 3 x - 4 y + 14 = 0 .

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Questão 54

Seja z = f x , y uma função diferenciável em R 2 . Suponha que o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,2 , f 1,2 tem equação 2 x - 3 y + 2 z - 1 = 0 .

a) Determine f 1,2 e ∇ f 1,2 .

b) Sabendo que γ   : R → R 2 é uma parametrização derivável de uma curva de nível de f , que γ ' - 1 ≠ 0 → e que γ - 1 = 1,2 , determine uma equação para a reta tangente à curva γ em 1,2 .

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Questão 55

Determine a equação do plano tangente à superfície:

z = f x , y = 3 x y 2 - 10 x 2

No ponto P ( 1,2 , 2 ) .

  1. z = - 8 x + 12 y - 14
  2. z = 8 x - 10 y - 30
  3. z = 8 x - 12 y + 18
  4. z = - 8 x + 10 y - 10
  5. z = - 8 x + 12 y - 18

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Questão 56

Seja

f x , y = x cos ⁡ x y

Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f contém a origem.

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Questão 57

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

  1. Utilizando a derivação implícita, escreva a equação do plano tangente a função no ponto 1,2 .

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Questão 58

Encontre os pontos sobre a superfície

x 2 + y 2 - z 2 = - 2

De tal maneira que o plano tangente seja paralelo ao plano x + y + 2 z = 1 .

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Questão 59

Sejam m e m os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é 123.456.789 - 0 , então m = 1 e n = 2 ). Considere a função f x , y = m + 1 + x n + 2 + y n + 2 .

  1. Dados x 0 , y 0 ∈ R positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 .
  2. Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por 3 .

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Questão 60

Considere o elipsoide

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1

Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?

  1. 0,0 , 1 e ( 0,0 , - 1 )
  2. 0,1 , 0 e ( 1,0 , 0 )
  3. 0,1 , 0 e ( 0 , - 1,0 )
  4. 0,1 , 0 e ( - 1,0 , 0 )

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Questão 61

Ache o(s) ponto(s) que pertencem à superfície dada por x 2 - y 2 + z = 0 cujo o plano tangente é paralelo ao plano z = 2 x + 4 y .

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Questão 62

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f x , y = 3 x 2 y - x y em 1 , - 1 ,   f 1 , - 1

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Questão 63

(Cap 14.4 – Ex 2) Encontre uma equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado

z = 3 x - 1 2 + 2 y + 3 ) ^ 2 + 7 ,   ( 2 ,   - 2 ,   12 )

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Questão 64

(Cap 14.4 – Ex 42) Suponha que você precise conhecer uma equação do plano tangente a uma superfície S no ponto P (2, 1, 3). Você não tem uma equação para S, mas sabe que as curvas

r 1 = t = ( 2 + 3 t ,   1 - t 2 ,   3 - 4 t + t 2 )

r 2 = u = ( 1 + u 2 ,     2 u 3 - 1 ,     2 u + 1 )

Ambos estão em S. Encontre uma equação do plano tangente em P

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Questão 65

O gráfico da função f ( x ,   y )   =   x ² - y ² não admite plano tangente no ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Escolha uma opção:

  1. Verdadeiro
  2. Falso

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Questão 66

A equação do plano tangente ao gráfico da função f ( x ,   y )   = x y + y ² no ponto P ( 1,1 , 2 ) é:

  1. 3 x + 3 y - 3 z = 6
  2. 3 x + 9 y - 3 z = 6
  3. x + 3 y + 3 z = 2
  4. x - 3 y + z = 2

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Questão 67

No ponto P a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , tem plano tangente ortogonal a y = 1 . Assinale a alternativa correta:

  1. P = 1 2 , 1 2 , 1 2
  2. P = 0 , - 1,0
  3. P = 1 2 , 0 , - 1 2
  4. P = 0,1 , 0
  5. Não sei

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Questão 68

Suponha que o plano tangente ao gráfico da função diferenciável f   :   R 2 → R no ponto 1,1 ,   f 1,1 , seja dado por

z = x + 2 y - 1

Se a curva

γ t = t 2 ,   t ,   a + b t 3 + c t 6   ,   t > 0

Está no gráfico de f , então

  1. a - c = - 1
  2. a - c = 0
  3. a - c = 1
  4. a - c = 2
  5. a - c = 3

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Questão 69

Considere a função

f x , y = 1 - x 2 - y 2 4

E as seguintes afirmações:

  1. O gráfico de f é a parte de cima de um cone elíptico.
  2. Nenhum plano tangente ao gráfico de f é paralelo ao plano z = 2
  3. O vetor 0 , 3 3 ,   1 é normal ao gráfico de f no ponto 0 ,   1 , 3 2

Marque a alternativa correta:

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
  3. Apenas as afirmações I e II são falsas
  4. Todas as afirmações são verdadeiras
  5. Apenas as afirmação I e III são verdadeiras

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Questão 70

Considere as superfícies do paraboloide S f : f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z = 3 , o plano S g : g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z = 6 e o ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

c) Um plano tangente ao paraboloide, que seja paralelo ao plano S g

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Questão 71

Seja g : R 2 → R uma função de classe C ∞ com plano tangente ao gráfico no ponto 1,2 ,   g 1,2 descrito pela equação

4 x - 45 y + 4 z + 60 = 0

(a) Determine g ( 1,2 ) e ∇ g 1,2

(b) Se h : R 3 → R é dada por

h x , y , z = z g x - y , y

determine o plano tangente à superfície

S = x , y , z ∈ R 3   ; h x , y , z = - 13

No ponto 3,2 , - 2 .

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Questão 72

Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado

a )   z = e x 2 + y 2 ,   n o   p o n t o   ( 0,0 , 1 )

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Questão 73

Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado

b .   z = e x ln ⁡ y 2 ,   n o   p o n t o   ( 3,2 , 0 )

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Questão 74

Determinar a equação do plano tangente à superfície 3 x y z - z 3 = a 3 ,   a > 0 , no ponto onde x = 0 e y = a .

a x + y + a = 0

b x + y + x + a = 0

c x + z - a = 0

d x + y - a = 0

e x + z + a = 0

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Questão 75

O gráfico da função

z = ln ⁡ x - 2 y

Possui um plano tangente em ( 3,1 , 0 ) ?

a SIM e a equação deste plano é 3 x + y = 0

b NÃO, uma vez que z = f ( x , y ) não é uma função contínua

c SIM e a equação deste plano é x - 2 y = 0

d SIM e a equação deste plano é x - 2 y - z = 1

e NÃO, uma vez que as derivadas parciais de f ( x , y ) não são contínuas

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Questão 76

Considere o hiperboloide H definido por

x 2 4 + y 2 16 - z 2 4 = 9

  1. Encontre a equação do plano tangente a H no ponto ( 6,4 , 2 )
  2. Encontre outro ponto x , y , z ∈ H tal que o plano tangente a H em ( x , y , z ) seja paralelo ao plano encontrado no item a .

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Questão 77

(Cap 14.4 – Ex 1) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,                       ( 2 ,   - 1 ,   - 3 )

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Questão 78

(Cap 14.4 – Ex 6) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

z = ln ⁡ ( x - 2 y ) ,                       ( 3 ,   1 ,   0 )

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Questão 79

(Capítulo 14.6 – Exercício 54) Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?

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Questão 80

Mostre que os gráficos das funções f x , y = x 2 + y 2 e g x , y = 1 10 x 2 + y 2 + 5 2 se intersectam no ponto ( 3,4 , 5 ) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto

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Questão 81

Determine uma equação do plano que passa pelos pontos ( 0,1 , 5 ) e ( 0,0 , 6 ) e é tangente ao gráfico de g x , y = x 3 y . Existe um só plano?

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Questão 82

Seja f : R → R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = x f x y passam pela origem.

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Questão 83

Sobre o plano tangente ao gráfico de

f x , y = x + cos ⁡ y x 2

No ponto ( 1,0 , 2 ) é correto afirmar que:

  1. É perpendicular ao plano x y
  2. Contém o ponto ( 1,3 , 2 )
  3. Contém a reta x = 2 do plano x y
  4. É perpendicular ao vetor ( 5,0 , 1 )
  5. É perpendicular ao vetor ( 12,0 , - 2 )

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Questão 84

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 0,1 . Se o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,1 é x + 2 y + 3 z = 1 , então ∇ f 0,1 é:

  1. - 1 / 3 , - 2 / 3
  2. 1 / 3,2 / 3
  3. - 1 , - 2
  4. 1,2
  5. 1,2 , 3
  6. Nenhuma das demais alternativas

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Questão 85

Questão 3 – Considere a função

f x , y = 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 , s e   x , y ≠ 0,0 0 , s e   x , y = 0,0

a) Calcule as derivadas parciais nos pontos ( x , y )   ≠ 0,0 .

b) Calcule as derivadas parciais em 0,0 .

c) Calcule a equação h x , y do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,0 .

d) Calcule o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y - h x , y x 2 + y 2

E conclua se f é ou não diferenciável em 0,0

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Questão 86

Encontre os pontos no elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 = 14 onde o plano tangente é paralelo ao plano x - y - z = 0 .

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Questão 87

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f t 2 ,   2 t 3 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ y 1 ,   2 = 1 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 é:

a) 2 x - y + z - 2 = 0 .

b) 2 x + y - z - 2 = 0 .

c) x - y + z - 1 = 0 .

d) x + y - z - 1 = 0 .

e) y - z = 0 .

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Questão 88

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f t 2 ,   2 t 3 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ x 1 ,   2 = 4 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,   2 ,   f 1 ,   2 é:

a) 4 x - y - z = 0 .

b) 4 x + y - z - 4 = 0 .

c) 4 x - 2 y - z + 2 = 0 .

d) 4 x + 2 y - z - 6 = 0 .

e) 4 x - z - 2 = 0 .

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Questão 89

Encontre o plano tangente ao gráfico de f x , y = x ² e x y no ponto p = ( 1,1 ) .

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Questão 90

Seja z = f ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 . Considere um ponto P = ( x 0 , y 0 ) sobre a curva de nível C em que f = 1 . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f em ( x 0 , y 0 , 1 ) é dado pela equação

3 x - 8 y + z - 7 = 0

E que u = ( a , b ) é um vetor tangente a C então é correto afirmar que:

  1. 3 a - 8 b = 0
  2. 8 a - 3 b = 0
  3. 3 a + b = 8
  4. 3 a - 8 b = 1
  5. 8 a - 3 b = 1

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Questão 91

Ache o plano tangente à superfície z = x 2 + y 2 no ponto ( 1,2 ) .

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Questão 92

Ache o plano tangente à superfície z = x 2 + y 2 no ponto ( 1,2 ) .

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Questão 93

Duas superfícies S 1 e S 2 são tangentes no ponto P quando P ∈ S 1 ∩ S 2 e os planos tangentes a S 1 e a S 2 no ponto P coincidem. O elipsóide S 1 : 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 - 9 = 0 e a esfera S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 são tangentes no ponto P = ( 1,1 , 2 ) ? Justifique com cuidado.

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Questão 94

Considere a função f x , y = x ψ x y em que ψ : R → R é uma função diferenciável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário a , b , f a , b passa pela origem.

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Questão 95

Questão 5 Determine o plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , com x > 0 , y > 0 e z > 0 , que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d 3 6 a b c .

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Questão 96

1.11. Determine k ∈ R para que o plano tangente ao gráfico de f x , y = ln ⁡ x 2 + k y 2 no ponto 2,1 , f 2,1 seja perpendicular ao plano 3 x + z = 0 .

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Questão 97

2.3. Seja f : R 2 → R uma função diferenciável em R 2 . Fixado um certo P = x 0 ,   y 0 ∈ R 2 , sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 tem equação - 2 x + 2 y - z + 3 = 0 . Determine, entre as curvas abaixo, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P :

a. γ ( t ) = - 1 t , t ; b. γ ( t ) = t 5 5 , - 2 t 3 3 + 3 t ; c. γ t = t 2 , t 3 + t

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Questão 98

Considere f x ,   y = x sen ⁡ x + y + 2 y .

  1. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( - 1 ,   1 ,   2 ) .
  2. Considerando x = x ( r ,   s ) e y = y ( r ,   s ) funções de classe C 1 nas variáveis r e s tais que x 1 ,   2 = π 6 , y 1 ,   2 = π 3 , ∂ x ∂ r 1 ,   2 = - 2 e ∂ y ∂ r 1,2 = 3 , mostre que se g r ,   s = f ( x r ,   s ,   y r ,   s ) , então ∂ g ∂ r = 4 para r ,   s = 1 ,   2 .

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Questão 99

Determine a equação do plano tangente à superfície

z = x sen ⁡ ( x + y )

no ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) .

(a) x + y + z = 0

(b) x - y - z = - 2

(c) x + y - z = 0

(d) x - y + z = 2

(e) Nenhuma das outras alternativas.

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Questão 100

(4) Seja f x , y = x y 2 - y x 2 + x e determine os pontos em que o plano tangente ao gráfico de f é “horizontal” em R 3 (isto é, o plano é ortogonal ao eixo z ).

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Questão 101

Considere o paraboloide z = x 2 - y 2 . Determine a equação para:

b) O plano tangente e reta normal ao paraboloide, passando por P ( 1 ,   - 1 ,   2 ) .

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Questão 102

Considere o paraboloide z = x 2 - y 2 . Determine a equação para:

a) O plano tangente ao paraboloide paralelo ao plano π : 2 x + 3 y + z = 6

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Questão 103

Considere a superfície S de equação

a x 2 + b x y - c z = 2

Onde a ,   b ,   c são números reais. Se o plano de equação

2 x + y - 3 z = 0

É tangente a S no ponto ( 1,1 , 1 ) , então o produto a b c vale:

  1. - 2 3
  2. 3 2
  3. 2 9
  4. 1 3
  5. 3

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Questão 104

Considere a superfície:

z 2 = x 2 + y 2

  1. Determine a equação do plano tangente no ponto a ,   b ,   c .
  2. Mostre que este plano intersecciona o plano x y na reta a x + b y = 0 .

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Questão 105

Seja f : R 2 → R uma função diferenciável. Sabendo que 2 x + 5 y + 7 z + 3 = 0 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2,5 ) , determine

1 .   f ( 2,5 ) ;

2 .   ∇ f ( 2,5 ) ;

3 . ∂ f ∂ u → ( 2,5 ) , onde u → é o versor do vetor v → = ( 5,2 ) .

4. a reta tangente ao gráfico da função g t = f 3 sin ⁡ t + t 4 + 2,2 cos ⁡ t + e - 5 t + 2 no ponto da abscissa t 0 = 0 .

5 . o plano tangente ao gráfico de h u , v = u f u + v , u - v no ponto 7 2 , - 3 2 , h 7 2 , - 3 2 .

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Questão 106

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável cujo gráfico está contido na superfície

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1

Se f 1 2 , 1 2 2 = - 1 6 então o plano tangente ao gráfico de f em 1 2 , 1 2 2 , - 1 6 é:

  1. x + 2 y + 6 z - 2 = 0
  2. x + 2 y - 6 z - 2 = 0
  3. - x - 2 y + 6 z + 2 = 0
  4. x + 2 y + 6 z + 2 = 0
  5. 2 x - 6 z = 0

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Questão 107

Considere uma função continuamente diferenciável z = f ( x , y ) . Sabendo que

f 1,1 = 2

f x 1,1 > 0

E u = ( 1 , - 1 ) é um vetor tangente à curva de nível f x , y = 2 no ponto ( 1,1 ) , qual das equações abaixo poderia representar a equação de um plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,1 , 2 ) ?

  1. x - 1 - y - 1 + 3 z - 2 = 6
  2. x + y + 3 z + 4 = 0
  3. x - 1 + y - 1 + 3 z - 2 = 0
  4. x + y - 3 z + 4 = 0
  5. x - y + 2 z + 6 = 0

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Questão 108

Considere a superfície S : x 2 + y 2 + 4 z 2 - 6 a x y z = 37 . Determine o valor de a para que o plano tangente a S no ponto (0, -1, 3) contenha o ponto (1, -2, 1).

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Questão 109

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f 2 t 3 ,   t 2 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   1 = 1 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 ,   1 ,   f 2 ,   1 é:

a) x - 2 y - z + 2 = 0 .

b) x + 2 y - z - 2 = 0 .

c) x - y - z + 1 = 0 .

d) x + y - z - 1 = 0 .

e) x - z = 0 .

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Questão 110

Seja f :   R 2 → R uma função diferenciável satisfazendo

f 2 t 3 ,   t 2 = 1 + e t 2 - 1 ,             p a r a   t o d o   t ∈ R

Sabendo que ∂ f ∂ y 2 ,   1 = 4 , uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 ,   1 ,   f 2 ,   1 é:

a) x - 4 y + z = 0 .

b) x + 4 y - z - 4 = 0 .

c) 2 x - 4 y + z - 2 = 0 .

d) 2 x + 4 y - z - 6 = 0 .

e) 4 y - z = 0 .

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Questão 111

Seja S a superfície dada pelo gráfico de uma função diferenciável f x , y . Sabendo que o plano tangente a S no ponto 1,4 , f 1,4 é

x - y + 2 z = 1

Quanto valem f x 1,4 , f y 1,4 e f 1,4 respectivamente?

a - 1 2 , 1 2 e 1 2 ;

b - 1 ,   1 e 1 ;

c 1 ,   - 1 e 1 ;

d 1 , - 1 e 1 2 ;

e - 1 2 , 1 2 e 2 ;

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Questão 112

Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano

z = 2 x + 3 y

E tangente ao gráfico da função

f x , y = x 2 + x y

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Questão 113

Determine a equação do plano que é tangente ao paraboloide

z = 2 x 2 + 3 y ²

E paralelo ao plano

4 x - 3 y - z = 10

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Questão 114

(Cap 14.4 – Ex 2) Encontre uma equação do plano tangente à superfície dado no ponto especificado

z = x y ,   ( 1 ,   1 ,   1 )

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Questão 115

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

b) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 onde o plano tangente a superfície de nível f x , y , z = 1 , neste ponto, seja paralelo ao plano x + y = 3

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Questão 116

Determine a equação do plano tangente à superfície

z = f x , y = 3 x y 2 - 10 x 2

No ponto P ( 1,2 , 2 ) .

  1. z = 8 x - 10 y - 30
  2. z = - 8 x + 12 y - 18
  3. z = - 8 x + 12 y - 14
  4. z = - 8 x + 10 y - 10
  5. z = 8 x - 12 y + 18

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Questão 117

Determine o plano tangente à superfície esférica:

x 2 + 3 y 2 + z 2 = 22

No ponto P ( 1,2 , 3 ) .

(a) 2 x + 12 y + 3 z = 44

(b) x + 6 y + 3 z = 22

(c) x + 12 y + 3 z = 20

(d) 3 x + 6 y + 3 z = 22

(e) 3 x + 4 y + 3 z = 20

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Questão 118

O plano tangente a superfície x 4 + y 2 + 2 z 2 = 4 , no ponto 1,1 , 1 intercepta o eixo x quando:

  1. x = 1
  2. x = 2
  3. x = 5 2
  4. x = 3 4
  5. Não sei

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Questão 119

Sejam γ   : R → R 2 e σ   : R → R 2 dadas por γ t = 1 , t e σ t = t , 0 para todo t   ϵ   R . Considere ainda F   : R 2 → R , diferençável e tal que

F γ t = - 5 t 2 + t + 1

F σ t = t 2 ,   ∀   t   ϵ   R

Dê a equação do plano tangente ao gráfico de F no ponto x 0 , y 0 = 1,0 .

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Questão 120

Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

  1. O eixo O y está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos de forma ( 0 ,   y 0 ,   F 0 , y 0 ) .

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Questão 121

Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

c) As condições para que o plano z = x + y seja o plano tangente ao gráfico de F em ( x 0 , y 0 ) são: y 0 = 0 ,   f 0 = 1 e x 0 f ' 0 = 1 .

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Questão 122

Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

d) O plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano z = 0.

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Questão 123

Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

  1. Se f x , y ≤ x 2 + y 2 para todo x , y ∈ R 2 , então f é diferenciavel em ( 0,0 ) .

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Questão 124

Seja f : R2 ��→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

c. Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

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Questão 125

Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

e. f pode ser de classe C 2 e satisfazer ∂ f ( x , y ) ∂ x = x 2 + y sin ⁡ x e ∂ f ( x , y ) ∂ y = x y 2 , para todo x , y ∈ R 2 .

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Questão 126

Sejam f   : R → R derivável e F   : F 2 → R dada por F x , y = x f ( y ) para todo x , y ∈ R 2 . Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?

b) O ponto (1,1,1) pertence a todos os planos tangentes o gráfico de F em pontos da forma 0 ,   y 0 ,   F 0 , y 0 .

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Questão 127

1 Determine o plano tangente à superfície r u , v = u , v , u 2 + v 2 , no ponto u , v = 1,1 .

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Questão 128

Seja f : R2 −→ R uma função qualquer. Decida se cada uma das cinco afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

d. Se as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são de classe C 1 em R 2 , então ∂ f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , y ) para todo x , y ∈ R 2 .

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Questão 129

Dada f ( x , y ) = x ² y .

b) Encontre a equação do plano tangente a f no ponto (1,1,1).

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Questão 130

25 Encontre o vetor gradiente de cada uma das funções:

(a) f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

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Questão 131

2.3. Seja a > 0 e considere o plano tangente à superfície x y z = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência.

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Questão 132

3) Dada a superfície de equação a x 2 - b x y + cos ⁡ z 3 - e z = 0 , para quais valores positivos de a e b o seu plano tangente no ponto P 0 = b , a , 0 é paralelo ao plano x - 2 y - z = 1 .

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Questão 133

Seja f : ℝ 2 → ℝ , f com derivadas parciais contínuas em ℝ 2 e tal que 2 x + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0,2 , f ( 0,2 ) ) . Seja

g ( u , v ) = u f ( s e n ( u 2 - v 3 ) , 2 u 2 v ) .

Determine a ∈ ℝ para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto ( 1,1 , g ( 1,1 ) ) seja paralelo ao vetor ( 4,2 , a ) .

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Questão 134

Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

a )   z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,   ( 2 , - 1 , - 3 )

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Questão 135

Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

d )   z = ln ⁡ x - 2 y ,   ( 3,1 , 0 )

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Questão 136

Sabe-se que o plano de equação 2 x + y + 3 z = 6 é tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,1 ) . Determine as derivadas parciais de f no ponto ( 1,1 )

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Questão 137

Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

b )   z = x y ,   ( 1,1 , 1 )

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Questão 138

Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.

c )   z = x sin ⁡ x + y ,   ( - 1,1 , 0 )

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Questão 139

Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2 x + y e tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 . Qual é o ponto de tangência?

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Questão 140

Seja f = f ( x , y ) uma função de classe 𝒞 2 e seja g : ℝ 2 → ℝ dada por

g ( u , v ) = u f ( u 2 - v , u + 2 v )

Sabendo que 3 x + 5 y = z + 26 é uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,4 , f ( 1,4 ) ) ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 1,4 ) = 1 e ∂ 2 f ∂ y 2 ( 1,4 ) = - 1 , calcule ∂ 2 g ∂ u ∂ v ( - 2,3 ) .

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

Regra de três simples e compostaPrimitivasEquação da ElipseCoeficiente LinearSemelhança de triângulos - FórmulaFórmula do x e y do vérticeTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela