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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 11

Considere o objeto de massa 10   k g em queda do Exemplo 2, mas suponha agora que o coeficiente de resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade.

  1. Se a velocidade limite é 49   m / s (a mesma que no Exemplo 2), mostre que a equação de movimento pode ser escrita como

    2. d v d t = 49 2 - v 2 245

    Veja também o Problema 25 da Seção 1.1

  2. Se v 0 = 0 , encontre uma expressão para v ( t ) em qualquer instante.
  3. Faça o gráfico da solução encontrada em (b) e da solução (26) do Exemplo 2 no mesmo conjunto de eixos.
  4. Baseado nos gráficos encontrados em (c), compare o efeito de um coeficiente de resistência do ar quadrático com um linear
  5. Encontre a distância x t percorrida pelo objeto até o instante t .
  6. Encontre o tempo T que leva para o objeto cair 300   m .

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos, para o primeiro item, manipular a equação que chegamos no exercício 25 da seção 1.1 para chegar na forma pedida. Para os itens restantes, vamos aplicar os diferentes tipos de condições de contorno pedidos com o intuito de encontrar os dados requisitados. Vamos juntos para resolver!!

Passo 2

  1. Pela equação encontrada no exercício 25 da seção 1.1, temos que

    2. d v d t = g - 0,0041 ⋅ v 2

    Podemos escrever o valor de 0,0041 em uma fração equivalente, que será de aproximadamente 1 245 . Assim, temos que nossa equação fica

    d v d t = 9,8 - 1 245 ⋅ v 2

    Se somarmos esses dois valores fazendo um mínimo múltiplo comum, vamos ter que

    d v d t = 2401 - v 2 245 = 49 2 - v 2 245

    Como queríamos chegar

    Passo 3

  2. Para encontrarmos a velocidade, precisamos resolver a EDO. Primeiramente vamos transformar ela em umaequação separável.

    3. d v d t = 49 2 - v 2 245

    1 49 2 - v 2 ⋅ d v = 1 245 ⋅ d t

    Se integrarmos de ambos os lados, vamos chegar em

    1 98 ⋅ ln ⁡ v 49 + 1 - ln ⁡ v 49 - 1 = 1 245 ⋅ t + C

    Se aplicarmos a condição de contorno com v 0 = 0 , teremos que

    1 98 ⋅ ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 = 1 245 ⋅ 0 + C

    C = 0

    Assim, ficamos com

    ln ⁡ v 49 + 1 - ln ⁡ v 49 - 1 = 98 245 ⋅ t

    Agora vamos manipular a equação para isolar v . Temos que:

    ln ⁡ v + 49 49 ⋅ 49 v - 49 = 98 245 ⋅ t

    ln ⁡ v + 49 v - 49 = 98 245 ⋅ t

    Vamos aplicar a exponencial em ambos os lados, mas antes vamos nos atentar ao módulo aplicado. Como 49   m / s é a velocidade máximo, temos que para o termo v - 49 > 0 precisamos que v - 49 = ( 49 - v ) . Substituindo e aplicando a exponencial, temos que

    v + 49 - v + 49 = e 0,4 t

    v + 49 = - v + 49 ⋅ e 0,4 t

    v + v e 0,4 t = - 49 + 49 e 0,4 t

    v = - 49 ⋅ 1 - e 0,4 t 1 + e 0,4 t = 49 ⋅ tanh ⁡ t 5

    Assim, temos que essa é nossa equação para v em qualquer t é essa

    Passo 4

    4. Passo 5

  4. No caso de uma resistência do ar com o quadrado da velocidade, a mesma é atingida mais rapidamente, porém, como conseguimos perceber no gráfico do item anterior, a velocidade terminal ainda será a mesma para um mesmo objeto.

    5. Passo 6

  5. Para encontrarmos a distância percorrida, precisamos integrar novamente nossa expressão em função do tempo. Portanto, temos que:

    6. d x d t = v = 49 ⋅ tanh ⁡ t 5

    d x = 49 ⋅ tanh ⁡ t 5 ⋅ d t

    Integrando de ambos os lados, temos

    x t = 245 ⋅ ln ⁡ cosh ⁡ t 5 + C

    Supondo que x 0 = 0 , temos que

    x 0 = 0 = 245 ⋅ ln ⁡ cosh ⁡ 0 + C

    C = 0

    Assim, nossa equação se torna

    x t = 245 ⋅ ln ⁡ cosh ⁡ t 5

    Passo 7

  6. Para encontrarmos o tempo para essa distância, precisamos isolar t e aplicar o ponto de contorno. Assim, aplicando a exponencial de ambos os lados da expressão, temos que:

x = 245 ⋅ ln ⁡ cosh ⁡ t 5

x 245 = ln ⁡ cosh ⁡ t 5

e x 245 = cosh ⁡ t 5  

Usando o arccosh, temos que

t = 5 ⋅ arccosh ⁡ e x 245

t = 5 ⋅ arccosh ⁡ 3,40

t ≈ 9,69   s

Resposta

(b) v = 49 ⋅ tanh ⁡ t 5   m / s

(e) x = 245 ⋅ ln ⁡ cosh ⁡ t 5   m

(f) t ≈ 9,69   s

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