Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 31
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de que separa as soluções que crescem positivamente quanto das que crescem em módulo, mas permanecem negativas. Como a solução que corresponde a esse valor crítico de se comporta quando ?
Passo 1
Para resolvermos esse problema iremos analisar o tipo de EDO que temos para resolver o problema de valor inicial usando fator integrante, onde
e a solução sendo dada por
Vamos resolver!!
Passo 2
Analisando nossa EDO, temos que e . Assim, substituindo na nossa equação do fator integrante, temos que:
E a nossa solução será
Usando integração por partes, vamos chegar que
Se aplicarmos a condição de contorno, onde , teremos que
Substituindo na equação original, vemos que
Passo 3
Podemos notar que quando , o termo vai dominar toda a solução, assim temos que o valor crítico será dado quando esse termo desaparecer, ou seja:
Assim, teremos que nossa solução ficará
Quando pegamos para essa nova solução, vemos que nosso valor de , enquanto que na nossa solução anterior . Ou seja, o valor de separa as soluções negativas das positivas.