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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 22

22. Considere oproblema de valor inicial   y ' =   c o s   5 π t , y 0 = 1

(a) Determine a solução y   =   ϕ ( t ) e desenhe o gráfico de   y   =   ϕ ( t ) para 0 ≤   t   ≤   1 .

(b) Determine valores aproximados para ϕ ( t ) em t   =   0,2 ;   0,4   e 0,6 usando o método de Euler com h   =   0,2 . Desenhe um gráfico com segmentos de reta para a solução aproximada e compare o com o gráfico da solução exata.

(c) Repita o cálculo do item ( b ) para 0   ≤   t   ≤   0,4 , mas com h   =   0,1 .

(d) Mostre que por meio de cálculo do erro de truncamento local, que nenhum desses tamanhos de passo é suficientemente pequeno. Determine um valor de h que garanta que o erro de truncamento local é menor do que 0,05 ao longo do intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . O fato de ser necessário um valor tão pequeno de h é consequência de o m a x | ϕ ' ' t | ser tão grande.

Passo 1

a) Olha só! Para obter a solução y = ϕ ( t ) dado que temos a equação de primeira ordem y ' basta integrar essa y ' sabendo que y 0 = 1 .

Ou seja, vamos ter que somar 1 ao resultado da integral de c o s   5 π t ...

y = ϕ t = ∫ c o s   5 π t + 1

y = ϕ t = se n ⁡ 5 π t 5 π + 1

De modo que o nosso gráfico para essa função, utilizando um software qualquer desses de plotar gráfico, M a t a l b , O c t a v e , S y m b o l a b ou G e o g e b r a , fica assim...

Passo 2

b) A fórmula de E u l e r   para a equação diferencial desse nosso probleminha tem a seguinte cara...

y n + 1 = y n + c o s   5 π t n

Só que...

t n = t 0 + n h

Onde temos que...

t 0 = 0

O que nos leva à...

y n + 1 = y n + c o s   5 π n h

De modo que para resolver essa letra, vamos seguir aquele velho algoritmo que a gente vinha fazendo anteriormente...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   y n + 1   e m   f u n ç ã o   d e   y n , h   e   t n + 1 .

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   h   e   o   n ú m e r o   d e   p a s s o s   n

P a s s o   3 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   d e 0,6 h   f a ç a

P a s s o   4 :

y n + 1 = y n + c o s   5 π n h

i = i + 1

n = n + 1

P a s s o   5 : E s c r e v a l   y n + 1

P a s s o   6 : F i m

Assim, realizando um total de iterações igual a...

T o t a l   d e   i t e r a ç õ e s = 0,6 0,2 = 3

No seguinte código abaixo...

Obtemos nossa resposta, igual à...

Passo 3

c) Para este item, vamos pegar o mesmo código da letra anterior. Só que vai mudar o número de iterações e o tamanho do passo h ...

Como 0 < t < 0,4 e h = 0,1 ... O número de iterações vai ser dado por...

T o t a l   d e   i t e r a ç õ e s = 0,4 0,1 = 4

Desse modo, a nossa resposta vai ser igual a...

Passo 4

d) Pra finalizar, vamos verificar se o tamanho do passo é pequeno mesmo, utilizando o erro de truncamento...

Nós sabemos que:

ϕ t = se n ⁡ 5 π t 5 π + 1

Derivando uma vez, ficamos com...

ϕ ' ( t ) = cos ⁡ 5 π t

Derivando outra vez, obtemos que...

ϕ ' ' t = - 5 π ⋅ sen ⁡ 5 π t

Utilizando a fórmula para obter o erro e n + 1 de truncamento local...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

e n + 1 = 1 2 - 5 π ⋅ sen ⁡ 5 π t - n ⋅ h 2

e n + 1 = - 5 π h 2 2 sen ⁡ 5 π t - n

Não podendo esquecer do intervalo de t - n ...

t n ≤ t - n ≤ t n + 1

Chegamos até a seguinte relação...

e n + 1 ≤ 5 π h 2 2 ≤ 0,05

O que nos fornece...

5 π h 2 2 ≤ 0,05

5 π h 2 ≤ 0,1

h 2 ≤ 0,1 5 π

h 2 ≤ 1 50 π

h < 1 50 π ≈ 0,08

Logo, vimos que um tamanho de passo decente teria que ser menor do que 0,08 ...

Resposta

a)

ϕ t = se n ⁡ 5 π t 5 π + 1

b)

c)

d)

h < 1 50 π ≈ 0,08

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