Considere uma população com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes e , respectivamente, e uma taxa de emigração constante , onde , e são constantes positivas. Assuma que . Então a taxa de variação da população em um tempo é modelada pela equação diferencial

a) Encontre a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial .

b) Qual condição sobre levará a uma expansão exponencial da população?

c) Qual condição sobre levará a uma população constante? E ao declínio da população?

d) Em 1847, a população da Irlanda era cerca de 8 milhões, e a diferença entre as taxas relativas de natalidade e mortalidade era da população. Por causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850, cerca de 210000 habitantes por ano emigraram da Irlanda. A população estava crescendo ou diminuindo naquela época?

Esse é um exercício bem legal que sofistica um pouco o modelo de crescimento população adicionando uma taxa de emigração . No item (a) devemos achar a solução da equação diferencial e nos demais itens fazer algumas discussões sobre o comportamento da função em alguns regimes...

Para resolver a equação diferencial, o primeiro passo é reescrever a equação:

Fazemos agora uma mudança de variável:

Assim, a equação fica

Note que essa é a tradicional equação de crescimento exponencial que nós já conhecemos:

Portanto,

Agora usamos a condição inicial :

Logo,

Portanto,