30. Considere a equação

dy/dx = (y - 4x) / (x - y)

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

dy / dx = (y / x - 4) / (1 - (y / x))

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = (x). Expresse dy/dx em função de x, υ e /dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e /dx. Mostre que a equação diferencial resultante é

v + dv/dx = (v - 4) / (1 - v)

Ou

x * (dv/dx) = (v² - 4) / (1 - v)

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

Para o gráfico da função

d y d x = y x - 4 1 - y x

Temos

E para as curvas de solução temos esse gráfico

Terminamos por aqui, te vejo na próxima solução 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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