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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 28-a

28. Resolva a equação

y ' = t y 4   –   y 1 + t

y 0 = y 0 > 0

((a) Determine o comportamento da solução quando t → ∞.(b) Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99.(c) Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99 y t = 2.

Passo 1

Temos aqui o iniciozinho de equações diferenciais, e para resolver essa equação vamos precisar usar um método poderoso de resolução de equações. O método de Separação de Variáveis. O próprio nome já dá spoiler de como funciona. Vamos separar as variáveis, tudo que for x fica de um lado, tudo que for y fica do outro.

Passo 2

No caso de

y ' = t y 4   –   y 1 + t

Podemos fazer o seguinte

d y d t =   t y 4   –   y 1 + t

1 y 4   –   y d y = t 1 + t d t  

Antes de integrar nos dois lados, vamos precisar fazer um truque antes no termo da esquerda, afinal não temos uma primitiva obvia para

1 y 4   –   y

Então vamos separar essa fração em outras mais fáceis.

1 y 4   –   y → 1 4 y - 1 4 y - 4

Belezinha agora podemos integrar ; )

Passo 3

∫ 1 4 y - 1 4 y - 4 d y = ∫ t 1 + t d t  

1 4 ln ⁡ y - 1 4 ln ⁡ y - 4 =   ∫ t 1 + t d t    

Integrar t, não é tão obvio. Vamos fazer uma substituição para integrar t

u = 1 + t

d u = d t

Assim ficamos com

∫ t 1 + t d t   → ∫ u - 1 u d u → ∫ 1   d u - ∫ 1 u d u

= u - ln ⁡ u  

= 1 + t - ln ⁡ t + 1

Então unindo tudo temos

1 4 ln ⁡ y - 1 4 ln ⁡ y - 4 = 1 + t - ln ⁡ t + 1 + C

Showw!!! Conseguimos integrar!!!

Passo 4

Vamos organizar essa equação para ela ficamos mais bonita, neste exercício teremos que ser mais criteriosos e adicionar o modulo no argumento da exponencial. Afinal, por vezes teremos que trabalhar com pontos onde a equação sera negativa, e portanto fora do domínio.

1 4 ln ⁡ y y - 4   = t - ln ⁡ t + 1 + C

Como C já é uma constante arbitraria, não precisamos colocar c + 1

y y - 4 = e 4 t - ln ⁡ t + 1 + C

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C e ln ⁡ t + 1

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

Passo 5

Vamos agora aplicar o limite e descobrir o comportamento dessa função

lim t → ∞ ⁡ e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

Quando fizemos cálculo 1 descobrimos que funções exponenciais crescem mais rápidas que polinômio, logo a parte exponencial vence e chega a infinito mais rápido. Assim

lim t → ∞ ⁡ e 4 t ⋅ e 4 C t + 1 = ∞

(caso sinta alguma duvida sobre qual parcela da fração vence o limite, pode aplicar L’Hopital e verificar 😉 ). Então visto que

y y - 4 = ∞

Isso só é possível se o denominador tender a zero

y - 4 = 0

y = 4

Então o comportamento dessa função é conforme t fica cada vez maior, y tende a assíntota y = 4 .

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Então o comportamento dessa função é conforme t fica cada vez maior, y tende a assíntota y = 4 .

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