Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t → ∞ . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.Todas as soluções se aproximam da curva y = 4 - t 2 quando t → ∞ .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 37

Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.

Todas as soluções se aproximam da curva quando .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos tentar supor equações diferenciais para cada condição dada e depois resolve-lás usando o melhor método que pensarmos. Vamos resolver!!

Passo 2

Queremos que nossa equação seja assintótica à quando . Ou seja, queremos que . Assim, vamos supor a seguinte equação diferencial:

Resolvendo ela pelo fator integrante, temos que

Multiplicando de ambos os lados da nossa equação por , chegaremos em:

Integrando de ambos os lados, temos que:

Quando , teremos que todas as soluções serão assintóticas a

Resposta

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