Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t → ∞ . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.

Todas as soluções se aproximam da curva y = 4 - t 2 quando t → ∞ .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos tentar supor equações diferenciais para cada condição dada e depois resolve-lás usando o melhor método que pensarmos. Vamos resolver!!

Passo 2

Queremos que nossa equação seja assintótica à 4 - t 2 quando t → ∞ . Ou seja, queremos que g t = 4 - t 2 - 2 t . Assim, vamos supor a seguinte equação diferencial:

y ' + y = 4 - t 2 - 2 t

Resolvendo ela pelo fator integrante, temos que

μ t = e ∫ p t d t = e t

Multiplicando de ambos os lados da nossa equação por μ t , chegaremos em:

e t ⋅ y ' + y = ( 4 - t 2 - 2 t ) ⋅ e t

e t ⋅ y ' = ( 4 - t 2 - 2 t ) ⋅ e t

Integrando de ambos os lados, temos que:

e t ⋅ y = 4 ⋅ e t - t 2 ⋅ e t - 2 e t t - e t - 2 e t t - e t + C

y = 4 - t 2 + C ⋅ e - t

Quando t → ∞ , teremos que todas as soluções serão assintóticas a y = 4 - t 2

Resposta

y ' + y = 4 - t 2 - 2 t

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