Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

Multiplicamos por

De modo que

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

Subsituindo os valores encontrados e integrando

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

Resposta

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Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y + 3 ⋅ x y 2 + 4 ⋅ y ⋅ y ' = 0

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y + 2 ⋅ x ⋅ y - e - 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

Resolva a equação diferencial 3 ⋅ x ⋅ y + y 2 + x 2 + x ⋅ y ⋅ y ' = 0 Usando o fator integrante μ x , y = x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y - 1 . Verifique se a solução é a mesma que a obtida no Exemplo 4 com um fato

Mostre que, se ( N x - M y ) / M = Q , em que Q é uma função só de y , então a equação diferencial M + N y ' = 0 Tem um fator integrante da forma μ y = exp ⁡ ∫ Q y d y

Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. x + 2 s e ny + x cos ⁡ y y ' = 0 ,μ x