Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 8
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .
8.
Passo 1
Então galera, de início já vou dizendo que as soluções em termos de série de potências é beeem cansativo, pois a solução é grande, infelizmente! No entanto, o lado bom é que não é tão complicado assim... Vejamos! A equação diferencial que nos foi dada é a seguinte:
O que devemos supor aqui é que nossa solução tem o seguinte formato:
Como teremos que substituir na equação diferencial, então já vamos encontrar as derivadas para facilitar nossa vida! Utilizando a regra do tombo, teremos:
E essas são nossas derivadas! Show!
Passo 2
Se substituirmos na nossa equação diferencial, teremos:
Da primeira somatória tiramos que:
Da segunda tiramos que:
E da terceira e da quarta tiramos:
Substituindo TUDO que tem por na nossa somatória, teremos:
Colocando em evidência o que for possível, teremos:
Passo 3
Da relação que escrevemos no passo 3 tiramos que:
Isolando , teremos:
Aqui é o momento que encontramos as duas soluções, galera! Para a primeira solução vamos chamar e , ok? Aplicando alguns valores de , teremos:
Para a segunda solução vamos fazer o contrário, ou seja, vamos chamar e , ok? Aplicando alguns valores de , teremos:
Top, top!
Passo 4
Agora que encontramos alguns termos da nossa série, então já conseguimos extrair tranquilamente nosso resultado, pessoal! A primeira solução será:
E a segunda solução será:
E está aí nossa resolução completinha, galera! 😉