11 - d x d t = - 1 0 0 - 1 x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  A - λ I = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n × n λ I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

d x d t = - 1 0 0 - 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = - 1 0 0 - 1 ξ e r t

r ξ e r t = - 1 0 0 - 1 ξ e r t

= - 1 - r 0 0 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

- 1 - r 0 0 - 1 - r = 0

r + 1 2 = 0

r 1,2 = - 1

Portanto, os autovalores r 1,2 = - 1 .

Quando  r = - 1 , a equação ( 2 ) fornece:

0 0 0 0 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha indica que ξ 1   e ξ 2 são variáveis ​​livres.

Então os vetores correspondentes são:

ξ 1 = 1 0 e ξ 2 = 0 1

Passo 3

b) Como os autovalores são iguais a dois vetores independentes. Então o ponto crítico ( 0 ,   0 ) é um nó apropriado.

Além disso, os autovalores são negativos; o ponto crítico é um nó apropriado assintoticamente estável.

Passo 4

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Passo 5

d) Peça ajuda a um especialista.

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = 3 i e r 2 = - 3 i .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 3 i é: ξ 1 = 2 - 1 + 3 i

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 3 i   é: n = 2 - 1 - 3 i

  3. O ponto crítico é um ponto central estável.
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