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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 25e

Considere o problema de valor inicial.

Queremos explorar quão longo é o intervalo de tempo necessário para que a solução se torne “desprezível” e como esse intervalo depende do coeficiente de amortecimento γ. Mais precisamente, vamos procurar o instante τ tal que |s(t)| τ. Note que o amortecimento crítico para este problema ocorre quando γ = 2.

Outra maneira de proceder é escrever a solução do problema de valor inicial na forma (26). Despreze o fator cosseno e considere, apenas, o fator exponencial e a amplitude R. Depois, encontre uma expressão para τ em função de γ. Compare os resultados aproximados obtidos desse modo com os valores determinados nos itens (a), (b) e (d)..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u = e r t

u ' = r e r t

u ' ' = r ² e r t

A amplitude do sistema é dada por:

r 2 e r t + γ r e r t +   e r t = 0

r ² + γ r + 1 = 0

r = - γ 2 ± i μ  

u t = e - γ t 2 2 cos ⁡ 4 - γ 2 2 t + 2 γ 4 - γ 2 sin ⁡ 4 - γ 2 2 t

u t = R e - γ t 2 cos ⁡ 4 - γ 2 2 t - δ

R cos ⁡ δ = 2

R sin ⁡ δ =   2 γ 4 - γ 2

R =   4 4 - γ 2

u t = 4 4 - γ 2   e - γ t 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

- γ τ 2 = ln ⁡ 4 - γ 2 400

τ = 2 γ ln ⁡ 400 4 - γ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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