Enunciado

Um peso de 1,5 kg distende uma mola em 2cm. O peso parte de um ponto 25 cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 1 m / s para cima.

  1. Encontre a equação que descreve o movimento harmônico simples resultante.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação pra um sistema harmônico simples é:

d 2 x d t 2 + k m x = 0

Precisamos definir essa constante k e a massa.

Pela lei de Hooke, temos:

m ⋅ g = k s

1,5 = k ⋅ 2

2 k = 1,5

k = 0,75

k = 3 4

Passo 2

Agora, a massa é encontrada por:

P = m ⋅ g

(Vamos usar g = 32   f t / s 2 ,   que é a referência original do livro...)

1,5 = 32 m

m = 3 64

E agora substituímos na equação lá de cima...

d 2 x d t 2 + k m x = 0

d 2 x d t 2 + 16 x = 0

A equação auxiliar é:

m 2 + 16 = 0

m 1 = 4 i       e     m 2 = - 4 i

Passo 3

A solução da EDO então é:

x t = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sen ⁡ 4 t

Agora vamos usar as condições iniciais para determinar c 1   e   c 2 . Temos:

x 0 = 25

x ' 0 = - 1 00

(transformando o m / s em c m / s )

Substituindo...

x 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 25

c 1 = 25

x ' t =   - 4 c 1 sen ⁡ 4 t + 4 c 2 cos ⁡ 4 t

x ' 0 = - 4 c 1 sen ⁡ 0 + 4 c 2 cos ⁡ 0 = - 1 00

4 c 2 = - 1 00 → c 2 =   - 25

A solução então é:

x t = 25 cos ⁡ 4 t - 25 sen ⁡ 4 t

Essa é a equação que descreve o movimento harmônico simples😉

Resposta

x t = 25 cos ⁡ 4 t - 25 sen ⁡ 4 t

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