Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.1 - Ex. 17
Considere o problema de valores de contorno
Defina uma nova variável dependente pela relação . Determine de modo que a equação diferencial para não tenha termo em .
Resolva o problema de valores de contorno para e determine, assim, os autovalores e autofunções do problema original. Suponha que todos os autovalores são reais
Resolva também o problema diretamente (sem definir )
Passo 1
Cara, lê com calma ele quer uma variável e nos quer saber o valor de sem que nessa EDO sobre um termo então substituindo tudo nós teremos:
Nos dando (pela regra da cadeia):
Pois
Isolando os termos em relação a nós teremos:
Anulando o termo de nós teremos:
Então:
Integrando em nós teremos:
Passo 2
Agora aplicando na equação abaixo nós teremos:
A solução para essa EDO será:
Aplicando as condições de contorno nós teremos:
E
E assumindo que então só podemos dizer que a função seno tem a seguinte função:
Para , então , tal que:
Logo a autofunção de será igual a:
Passo 3
Resolvendo essa EDO sem precisar de e nós teremos:
Cuja equação característica será:
Resolvendo essa equação do segundo grau teremos:
E como é um valor positivo então as raízes são complexas e imaginárias então a expressão da solução geral será igual a:
Aplicando os parâmetros de contorno nós teremos:
Aí a mesma ideia do passo anterior, onde não pode ser zero, então .