Considere o problema de valores de contorno y ' ' - 2 y ' + 1 + λ y = 0 ,y 0 = 0 , y 1 = 0 ( a ) Defina uma nova variável dependente u pela relação y = s x u . Determine s ( x ) de modo que a equação diferencial para u não tenha termo em u ' . ( b ) Resolva o problema de valores de contorno para u e determine, assim, os autovalores e autofunções do problema original. Suponha que todos os autovalores são reais ( c ) Resolva também o problema diretamente (sem definir u )

a )s = e x b )ϕ = k e x s e n n π x ; λ = n 2 π 2 ; kéu m ac o n s t a n t eq u a l q u e r é

Enunciado

Cara, lê com calma ele quer uma variável e nos quer saber o valor de sem que nessa EDO sobre um termo então substituindo tudo nós teremos:

Nos dando (pela regra da cadeia):

Pois

Isolando os termos em relação a nós teremos:

Anulando o termo de nós teremos:

Então:

Integrando em nós teremos:

Agora aplicando na equação abaixo nós teremos:

A solução para essa EDO será:

Aplicando as condições de contorno nós teremos:

E assumindo que então só podemos dizer que a função seno tem a seguinte função:

Para , então , tal que:

Logo a autofunção de será igual a:

Resolvendo essa EDO sem precisar de e nós teremos:

Cuja equação característica será:

Resolvendo essa equação do segundo grau teremos:

E como é um valor positivo então as raízes são complexas e imaginárias então a expressão da solução geral será igual a:

Aplicando os parâmetros de contorno nós teremos:

Aí a mesma ideia do passo anterior, onde não pode ser zero, então .