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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 10c

Considere o sistema (2) no texto e suponha que σ1σ2 – α1α2 = 0.

Analise a natureza das trajetórias quando σ1∊2 – α2∊1 = 0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar as equações do problema 8 e determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

x ϵ 1 - σ 1 x - α 1 y = 0

y ϵ 2 -   σ 2 y - α 2 x = 0

Igualando o x a zero na segunda equação e o y a zero na primeira, temos os seguintes pontos críticos:

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para acharmos o ponto assintoticamente estável, vamos fazer o Jacobiano.

σ 1 ϵ 2 - ϵ 1 α 2 y = 0

ϵ 1 - α 1 ϵ 2 σ 2 - λ 0 - α 2 ϵ 2 σ 2 - ϵ 2 - λ = 0

λ 1 =   - ϵ 2 < 0

λ 2 = ϵ 1 σ 2 - α 1 ϵ 2   σ 2 < 0

Assim, com t → ∞ , 0 ≤ x ≤ ϵ 1 σ 1   é a linha dos pontos estáveis.

Resposta

0 ≤ x ≤ ϵ 1 σ 1   é a linha dos pontos estáveis.

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