Enunciado

Considere os seguintes métodos de calcular integrais: substituição u , integração por partes, frações parciais, fórmulas de redução e substituições trigonométricas. Em cada parte, dê a abordagem que você tentaria em primeiro lugar para calcular a integral. Se nenhuma delas parecer apropriada, aponte isso. Não é preciso calcular a integral.

(a) ∫ x sin ⁡ x d x

(b) ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x

(c) ∫ tan 7 ⁡ x d x

(d) ∫ tan 7 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

(e) ∫ 3 x 2 x 3 + 1 d x

(f) ∫ 3 x 2 x + 1 3 d x

(g) ∫ arctan ⁡ x d x

(h) ∫ 4 - x 2 d x

(i) ∫ x 4 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, para as funções seno e cosseno no item (a), a nossa única solução é uma integração por partes, uma vez que os dois termos são distintos.

Já no item (b), podemos aplicar uma substituição   u porque uma função depende da outra, então se derivarmos teremos um resultado satisfatório.

Passo 2

Para os itens (c) e (d), ambos pedem o uso de uma identidade trigonométrica e, posteriormente, uma substituição em u .

Passo 3

No item (e), tanto substituição em u quanto frações parciais dão certo! E, para o item (f), é ideal usar integração por partes pois temos termos distintos.

Para o item (g), é só usarmos uma integral pronta, já que o arco tangente é uma função tabelada.

Passo 4

Para o item (h) e (i), nos dois usamos substituição simples, já que se derivarmos, podemos chegar em um resultado que nos permite substituir!

Resposta

(a) integração por partes

(b) substituição em u

(c) substituição em u

(d) substituição em u

(e) substituição em u

(f) integração por partes

(g) fórmula de redução

(h) substituição em u

(i) substituição em u

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Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1d x
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ c o s s e c h 2 2 / x x 2 d x
Em cada parte, é dada a curva velocidade versus tempo de uma partícula que se move ao longo de uma reta. Use a curva para encontrar o deslocamento e a distância percorrida pela partícula no intervalo
Em cada parte, é dada a curva velocidade versus tempo de uma partícula que se move ao longo de uma reta. Use a curva para encontrar o deslocamento e a distância percorrida pela partícula no intervalo
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