Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção.

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra começarmos esse exercício, podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado e procurar por alguma fórmula de integração na lista de integrais que se encontra na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON.

Procurando pela lista, iremos conseguir encontrar uma fórmula que se identifica com a nossa integral.

Passo 2

De início, podemos ver que essa integral não é simples de se resolver. Por causa disso, precisamos transformar ela numa forma em que seja possível aplicar algum método de integração.

Como nosso exercício envolve funções trigonométricas que se relacionam através de suas derivadas, sendo elas um produto de seno e cosseno, podemos aplicar a substituição u = s e n x , tal que d u = cos ⁡ x d x para fazer:

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = ∫ d u u u 2 + 1

Passo 3

Visto que essa integral agora tem a forma da fórmula 28 da lista de integrais, podemos resolvê-la e encontrar:

∫ d u u u 2 + 1 = - ln ⁡ 1 + 1 + u 2 u + C

Substituindo a variável u pelo termo original teremos, portanto:

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = - ln ⁡ 1 + 1 + s e n 2 x s e n x + C

Resposta

∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1   d x = - ln ⁡ 1 + 1 + s e n 2 x s e n x + C

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