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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 14

Considere a sequência ϕ n x = 2 n x e - n x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Mostre que lim n → ∞ ⁡ ϕ x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 ; logo,

    2. ∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ϕ n d x = 0

  2. Mostre ∫ 0 1 2 n x e - n x 2 d x = 1 - e - n ; então,

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ϕ n d x = 1

Assim, nesse exemplo,

lim n → ∞ ⁡ ∫ a b ϕ n d x ≠ ∫ a b lim n → ∞ ⁡ ϕ n d x = 1

embora lim n → ∞ ⁡ ϕ n x exista e seja contínuo.

Passo 1

Nesse exercício, vamos aplicar os conceitos de limite na expressão e analisar se nas condições descritas, a função ϕ n ( x ) realmente tende para os valores descritos. Vamos resolver juntos!

Passo 2

  1. Bom, vamos lá! Vemos que ϕ n 0 = 0 para qualquer n ≥ 1 , assim vamos supor um a onde 0 < a ≤ 1 . Logo, temos que nosso ϕ n x se torna

    2. ϕ n a = 2 ⋅ n ⋅ a ⋅ e - n ⋅ a 2

    Aplicando o limite à função, teremos que

    lim n → ∞ ⁡ 2 ⋅ n ⋅ a ⋅ e - n ⋅ a 2  

    Usando a regra de l’Hospital, vamos chegar que

    lim n → ∞ ⁡ 2 ⋅ n ⋅ a ⋅ e - n ⋅ a 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 a ⋅ e n a 2 = 0

    Como queríamos

    Passo 3

  2. Temos a seguinte integral

∫ 0 1 2 ⋅ n ⋅ x ⋅ e - n x 2 d x

Se chamarmos u = n x 2 , teremos que nosso d u = 2 ⋅ n ⋅ x ⋅ d x . Substituindo na integral, teremos que

∫ 0 n u ⋅ e - u d u = - e - x x - e - x 0 n = - e - n + 1

Assim, vemos que, aplicando o limite agora, teremos

lim n → ∞ ⁡ 1 - e - n = 1

E por consequênci

lim n → ∞ ⁡ ∫ a b ϕ n d x ≠ ∫ a b lim n → ∞ ⁡ ϕ n d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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