Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.8 - Ex. 19
Vamos tratar, nesse problema, a questão de unicidade de solução para a equação integral (3),
- Suponha que e são duas soluções da Eq. (3). Mostre que, para ,
- Mostre que
- Use o resultado do Problema 15 para mostrar que
em que é uma cota superior para em . Essa equação é igual à Eq. (30), e a demonstração restante pode ser feita como indicado no texto.
Passo 1
Nesse problema, vamos usar resultados de exercícios anteriores com mais algumas suposições sobre nossas funções. Vamos também fazer manipulações utilizando integrais para conseguirmos chegar nas equações mostradas. Vamos lá!
Passo 2
- Temos que
- Do resultado anterior, temos que
- Como vamos usar o resultado do problema 15, sabemos que nossa satisfaz a condição de Lipschitz. Assim
e
Pelas propriedades das integrais, temos que
Aplicando essa propriedade para nosso caso, teremos que
Passo 3
Por sorte, já fizemos bastante isso nos últimos três exercícios. Assim, aplicando o módulo em toda a expressão, teremos que
Passo 3
Aplicando isso então no resultado do nosso item anterior, teremos que:
Como queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)