Seja ϕ n x = x n para 0 ≤ x ≤ 1 e mostre que

lim n → ∞ ⁡ ϕ n x = 0 ,       0 ≤ x < 1 1 ,     x = 1

Esse exemplo mostra que uma sequência de funções contínuas pode convergir a uma função limite que é descontínua.

Passo 1

Nesse exercício, vamos aplicar os conceitos de limite na expressão e analisar se nas condições descritas, a função ϕ n ( x ) realmente tende para os valores descritos. Vamos resolver juntos!

Passo 2

Podemos notar que para ϕ n 0 = 0 e para ϕ n 1 = 1 . Ou seja, é uma função que é descontínua. Vamos supor um a sendo que 0 ≤ a < 1 , assim ficando com

ϕ n a = a n

Se aplicarmos o limite a essa função para n ≥ 1 , vamos ter que:

lim n → ∞ ⁡ a n

Como nosso valor para a está de zero a um, mas sem incluir o um, teremos que esse limite será

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

E, como já foi definido, para ϕ n 1 = 1 para qualquer n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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