Nos problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequência {ϕ_n(t)} , definida pelas equações de (4) a (7), converge.

Se ϕ(n-1)(t) e ϕ_n(t) são elementos da sequência {ϕ_n(t)} , use o resultado do problema 15 para mostrar que

| f(t, ϕ_n(t)) - f(t, ϕ_(n-1)(t)) | ≤ K | ϕ_n(t) - ϕ_(n-1)(t) | ,

Passo 1

Nesse exercício iremos fazer algumas suposições sobre nossa função f e aderir as sugestões do enunciado. Vamos supor que nossa f satisfaz a condição de Lipschitz e trabalhar com a função a partir disso. Vamos juntos resolver!

Passo 2

Vamos imaginar um intervalo pequeno de t , suficientemente pequeno, onde ϕ n - 1 t e ϕ n t ϵ   D . Se supormos que nossa f satisfaz a conção de Lipschitz teremos necessariamente que a única solução possível será que

f t , ϕ n t - f t , ϕ n - 1 t ≤ K ϕ n t - ϕ n - 1 t

Desde que K seja, como no exercício anterior, o máximo da função, ou seja

K = max ⁡ f y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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