Considere o sistema autônomo

a) Mostre o que o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

b) Esboce as trajetórias para o sistema linear correspondente e mostre que a trajetória na qual quando é .

c) Determine as trajetórias para o sistema não linear integrando a equação para Mostre que a trajetória correspondente a para o sistema não-linear não se altera, mas que a correspondente a é . Esboce diversas trajetórias para o sistema não-linear.

b) A trajetória do sistema linear são soluções de

Logo temos e

Para esboçar isso resolvemos a primeira equação para e substituímos o resultado na segunda equação e obtemos , .

Várias trajetórias são mostradas na figura abaixo.

Como nós devemos escolher para

Logo é a única trajetória para o qual quando

c) Para nós temos

Isso é uma equação linear e a solução geral é onde é uma constante arbitrária.

O sistema de equações ainda tem a solução . Qualquer solução como ponto incial no eixo y, ou seja é dada pela última solução. As trajetórias correspondentes a essas soluções se aproximam da origem quando

A trajetória qua passa pela origem é dada por . Essa trajetória corresponde a trajetória para o problema linear. Várias trajetórias são esboçadas na figura abaixo.