Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 24
O Teorema 9.3.2 não da informação sobre a estabilidade de um ponto crítico de um sistema quase linear, se esse ponto é um centro do sistema linear correspondente. Que isso tem que acontecer é ilustrado pelos sistemas
e
a) Mostre que (0,0) é um ponto crítico de cada um dos sistemas e que, além disso, é um centro do sistema linear correspondente.
b) Mostre que cada sistema é quase linear.
c) Seja e note que . Para o sistema (ii), mostre que e que quando portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável. Para o sistema (i), mostre que a solução do problema de valor inicia para com em torna-se ilimitada quando e, portanto, o ponto crítico é instável.
Passo 1
a) É evidente que a origem é um ponto crítico de cada um dos sistemas. Além disso, é tranquilo de ver que o sistema linear correspondente em cada caso é dado por
O autovalor equivalente dos coeficientes matriciais são Logo, o ponto critico do sistema linearizado é o centro.
Passo 2
b) Usando coordenadas polares é tranquilo a gente mostrar que
Alternativamente, os termos não lineares são analíticos em todo o plano. Logo, ambos os sistemas são quase lineares próximos a origem.
Passo 3
c) Para o sistema (ii) note que
Convertendo para coordenadas polares e derivando a equação em relação a t encontramos
Isso nos da que Consequentemente, onde Quando quando independente do valor de , a origem é um ponto de equilíbrio estável.
Por outro lado, para o sistema (i)
Isso nos da que Resolvendo a equação diferencial resultamos em
Impondo a condição inicial nos obtemos a solução
Como a solução não apresenta limite para o ponto crítico é instável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)