Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m1 = m2 = 1, k1 = k2 = k3 = 1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y' = Ay. Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y1 * y3 e y^2 * y^4 .

(e) Considere as condições iniciais y(0) = (-1, 3, 0, 0)^T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1 y3 e y^2 * y^4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

Como nós desejamos escrever a solução geral em função de y ,e vamos aproveitar já e escrever a exponencial imaginária na forma trigonétrica, temos que:

y 1 = ξ 1 e r 1 t

y 2 = ξ 2 e r 2 t

y 3 = ξ 3 e r 3 t

y 4 = ξ 4 e r 4 t

y 1 = 1 1 i i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 2 = 1 1 - i - i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 3 = 1 - 1 i 3 - i 3 cos ⁡ 3 t + i   s e n 3 t

y 4 = 1 - 1 - i 3 i 3 cos ⁡ 3 t - i   s e n 3 t

Passo 2

Escrevendo a solução geral temos que:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4

Como desejamos encontrar a solução real, ou seja o real valor da solução, nós podemos pelo teorema 7.4.5 escolher, separar, a parte real e a parte imaginária de nosso y 1 … y 4 .

y 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + i s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

y 3 = 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + i 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Separando cada uma da matrizes por variáveis independentes temos:

u 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t

v 1 = s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

u 2 = cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t

v 2 = s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

Passo 3

E finalmente podemos escrever nossa solução final como:

y = c 1 u 1 + c 2 v 1 + c 3 u 2 + c 4 v 2

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t + c 4 s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

Resposta

c)

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t + c 4 s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

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