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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 31c

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y 1 y 3   e y 2 y 4 .

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   – 1 ,   3 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

Como nós desejamos escrever a solução geral em função de y ,e vamos aproveitar já e escrever a exponencial imaginária na forma trigonétrica, temos que:

y 1 = ξ 1 e r 1 t

y 2 = ξ 2 e r 2 t

y 3 = ξ 3 e r 3 t

y 4 = ξ 4 e r 4 t

y 1 = 1 1 i i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 2 = 1 1 - i - i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 3 = 1 - 1 i 3 - i 3 cos ⁡ 3 t + i   s e n 3 t

y 4 = 1 - 1 - i 3 i 3 cos ⁡ 3 t - i   s e n 3 t

Passo 2

Escrevendo a solução geral temos que:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4

Como desejamos encontrar a solução real, ou seja o real valor da solução, nós podemos pelo teorema 7.4.5 escolher, separar, a parte real e a parte imaginária de nosso y 1 … y 4 .

y 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + i s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

y 3 = 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + i 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Separando cada uma da matrizes por variáveis independentes temos:

u 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t

v 1 = s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

u 2 = cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t

v 2 = s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

Passo 3

E finalmente podemos escrever nossa solução final como:

y = c 1 u 1 + c 2 v 1 + c 3 u 2 + c 4 v 2

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t + c 4 s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

Resposta

c)

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 cos ⁡ 3 t - cos ⁡ 3 t - 3   s e n   3 t 3 s e n 3 t + c 4 s e n   3 t - s e n   3 t 3 cos ⁡ 3 t - 3 c o s 3 t

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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η n
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x c) A Eq. (iii) será satisfeita se ξ for um autovetor; logo, um modo de proceder é escolher ξ como uma combinação linear apropriada de ξ (
Seja J = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ Em que 1 é um numero real arbitrário.a)encontre J 2 , J 3 eJ 4 .b)Use um argumento indutivo para mostrar que: J n = λ n n λ n - 1 n n - 1 2 λ n - 2 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n c
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=ξ t 2 2 e 2 t+η t e 2 t+ζ e 2 t . Mostre que ξ, η e ζ satisfazem as equações: A–2 I ξ=0 ,A