Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=ξ t 2 2 e 2 t+η t e 2 t+ζ e 2 t . Mostre que ξ, η e ζ satisfazem as equações: A–2 I ξ=0 ,A–2 I η=ξ , A–2 I ξ= η As duas primeiras equações são as mesmas do item (c); logo, para resolver a equação para ζ,despreze, novamente, o múltiplo de ξ 1 que aparece. Depois, escreva uma terceira solução x 3 t do sistema (i).

d) x ' = A x ⇔A - 2 I ζ = η x 3t = t 2 2 e 2 t 0 1 - 1 + t e 2 t 1 1 0 + e 2 t 2 0 3

Enunciado

d) As duas primeiras soluções da equação geral nós já calculamos no item (b) e (c), vamos encontrar agora a terceira.

Antes disso temos que mostrar que ξ, η e ζ satisfazem as equações:

Note que as duas primeira equações nós já provamos no item (c), portanto vamos provar aqui apenas a terceira equação.

Vamos lá!

Desde seja uma solução para :

E por outro ângulo de visão temos:

Em que :

Em que , temos:

Agora que provamos a terceira equação vamos encontrar a terceira solução da solução geral.

Vamos resolver , temos um sistema de equações linear:

Escalonando o sistema temos:

Reduzindo o sistema para:

Resultando no seguinte vetor que satisfaz o sistema reduzido:

Tendo a terceira solução como: