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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 18d

Considere o sistema

x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x

d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x   =   ξ t 2 2 e 2 t   +   η t e 2 t   +   ζ e 2 t . Mostre que ξ, η e ζ satisfazem as equações:

A   –   2 I ξ   =   0 ,       A   –   2 I η   =   ξ ,         A   –   2 I ξ   = η

As duas primeiras equações são as mesmas do item (c); logo, para resolver a equação para ζ,

despreze, novamente, o múltiplo de ξ 1 que aparece. Depois, escreva uma terceira solução x 3 t do sistema (i).

Passo 1

d) As duas primeiras soluções da equação geral nós já calculamos no item (b) e (c), vamos encontrar agora a terceira.

Antes disso temos que mostrar que ξ, η e ζ satisfazem as equações:

A   –   2 I ξ   =   0 ,       A   –   2 I η   =   ξ ,         A   –   2 I ξ   = η

Note que as duas primeira equações nós já provamos no item (c), portanto vamos provar aqui apenas a terceira equação.

Vamos lá!

Passo 2

Desde x   =   ξ t 2 2 e 2 t   +   η t e 2 t   +   ζ e 2 t seja uma solução para x ' = A x :

x ' = ξ t e 2 t + ξ t 2 e 2 t + η e 2 t + 2 η t e 2 t + 2 ζ e 2 t

E por outro ângulo de visão temos:

A x = A ξ t 2 2 e 2 t + η t e 2 t + ζ e 2 t

A x = A ξ t 2 2 e 2 t + A η t e 2 t + A ζ e 2 t

Em que A ξ = 2 ξ :

x ' = A x ⇔   ξ t e 2 t + ξ t 2 e 2 t + η e 2 t + 2 η t e 2 t + 2 ζ e 2 t = ξ t 2 e 2 t + A η t 2 t + A ζ e 2 t

x ' = A x ⇔   A ζ e 2 t - 2 ζ e 2 t = - A η t e 2 t + 2 η t e 2 t + ξ t e 2 t + η e 2 t

x ' = A x ⇔   A - 2 I ζ e 2 t = - A - 2 I η t e 2 t + ξ t e 2 t + η e 2 t

Em que = - A - 2 I η t e 2 t = ξ t e 2 t , temos:

x ' = A x ⇔   A - 2 I ζ e 2 t = η e 2 t

x ' = A x ⇔   A - 2 I ζ = η

Agora que provamos a terceira equação vamos encontrar a terceira solução da solução geral.

Passo 3

Vamos resolver A - 2 I ζ = ξ , temos um sistema de equações linear:

- 1 1 1 2 - 1 - 1 - 3 2 2 ∙ ζ 1 ζ 2 ζ 3 = 1 1 0

Escalonando o sistema temos:

1 0 0 0 1 1 0 0 0 ∙ ζ 1 ζ 2 ζ 3 = 2 3 0

Reduzindo o sistema para:

ζ 2 + ζ 3 = 3

ζ 1 = 2

Resultando no seguinte vetor que satisfaz o sistema reduzido:

ζ = 2 0 3

Tendo a terceira solução como:

x 3   t = t 2 2 e 2 t 0 1 - 1 + t e 2 t 1 1 0 + e 2 t 2 0 3

Resposta

d)

x ' = A x ⇔   A - 2 I ζ = η

x 3   t = t 2 2 e 2 t 0 1 - 1 + t e 2 t 1 1 0 + e 2 t 2 0 3

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