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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 11c

Considere o sistema (3) no Exemplo 1 do texto. Lembre-se de que esse sistema tem um ponto critico assinoticamente estavel em (0,5; 0,5), correspondente a coexistência estável das populações das duas espécies. Suponha, agora, que a imigração ou emigração ocorrem com taxas constantes δa e δb para as espécies x e y, respectivamente. Nesse caso, as Eqs. (3) são substituídas por

O problema é saber qual efeito disto na localização do ponto de equilíbrio estável.

Dos termos lineares em δ, mostre que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Os termos que nos levam à linearidade do sistema são multiplicados por delta, ou seja:

x 0 1 - x 0 - y 0 + δ x 1 - 2 x 0 x 1 - x 0 y 1 - x 1 y 0 + a + … = 0

x 1 - 2 x 0 x 1 - x 0 y 1 - x 1 y 0 + a = 0

y 0 0,75 - 0,5 x 0 - y 0 + δ 0,75 y 1 - 2 y 0 y 1 - 1 2 x 0 y 1 - 1 2 x 1 y 0 + b + … = 0

0,75 y 1 - 2 y 0 y 1 - 1 2 x 0 y 1 - 1 2 x 1 y 0 + b = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

x 1 - 2 x 0 x 1 - x 0 y 1 - x 1 y 0 + a = 0

0,75 y 1 - 2 y 0 y 1 - 1 2 x 0 y 1 - 1 2 x 1 y 0 + b = 0

Substituindo

x 0   ,   y 0 = 0,5   ; 0,5

- 0,5   x 1 - 0,5   y 1 + a = 0 - 0,25   x 1 - 0,5   y 1 + b =   0

y 1 =   - 2 a + 4 b

x 1 = 4 a - 4 b

Resposta

y 1 =   - 2 a + 4 b

x 1 = 4 a - 4 b

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