Considere a situação no Exercício 51 se o custo de colocar um cano debaixo do rio for consideravelmente mais alto do que o custo de colocar um cano por terra ( U S = 400000 mi l ). Você pode suspeitar que, em alguns casos, a distância mínima possível sob o rio deve ser usada e P deve estar localizado a 6 km da refinaria, diretamente em frente aos tanques de armazenamento. Mostre que esse nunca é o caso, não importa qual seja o custo "abaixo do rio".

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que voltar na historinha do exercicio 51 mais uma vez para mostrar que o caso de construir o óleoduto 6 k m a leste até a frente dos tanques e cruzar o rio perpendicularmente nunca será o caminho mais barato.

Parece complicado?

Caso você não se lembre desse exercicio, não se preocupe... temos uma refinaria à margem de um rio que tem 2 k m de largura. A 6 k m a leste, do outro lado do rio, ficam os tanques de armazenamento. Nosso objetivo é construir um oleoduto que ligue a refinaria até os tanques.

O custo de construção do oleoduto sobre a terra é de $ 400.000 e o custo de construção sob o rio é R . Vamos reciclar do exercicio 51 a equação que relaciona o custo com a distância x e aplicar a metodologia dos pontos críticos (derivando e igualando a 0 ).

Saca só!

Passo 2

A função custo é dada pela distância percorrida à margem multiplicada pelo custo do trecho por terra mais a distância construída sob o rio multiplicada pelo custo do trecho submerso.

C x = 4 00.000 6 - x + R x 2 + 4

A equação do custo C , em $100.000, é dada por:

C x = 4 6 - x + R x 2 + 4

Onde R é o custo em $ 100.000 / k m de colocar a tubulação sob o rio.

Vamos encontrar o valor crítico de x através da primeira derivada da função custo:

Pela regra da cadeia, temos

C ' x = d 4 6 - x + R x 2 + 4 d x = 4 d 6 - x d x + R d x 2 + 4 d x

C ' x = - 4 + R x x 2 + 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Igualando C ' x a 0 para encontrar o ponto crítico

C ' x = 0 → - 4 + R x x 2 + 4 = 0

R x = 4 x 2 + 4

Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz

R 2 x 2 = 16 x 2 + 64

R 2 - 16 x 2 = 64

Isolando x

x 2 = 64 R 2 - 16

x = 8 R 2 - 16

Como podemos ver, mesmo o preço R tendendo a infinito, x nunca será exatamente igual a zero. Portando o caminho “reto” nunca será o mais barato.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

x = 8 R 2 - 16

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