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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 1

Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S . Esboce uma casca de aproximação típica. Quais são a circunferência e a altura? Use cascas para encontrar V .

Passo 1

Se nós decidirmos usar os métodos das fatias, nós teríamos primeiramente que localizar o ponto máximo local ( a , b ) de y = x ( x - 1 ) ² usando os métodos do Capítulo 4. Posteriormente, teríamos que resolver   y = x ( x - 1 ) ² para x em termos de y para obter as funções x = g 1 ( y ) e x = g 2 ( y ) mostrada a seguir

Esses passos seriam diferentes porque envolveriam a fórmula cúbica. Finalmente, nós teríamos que encontrar o volume usando

V = π ∫ 0 b { g 1 y 2 - g 2 y 2 } d y

Passo 2

Usando cascas, nós encontramos uma típica aproximação de cascas de raio x , logo, a circunferência é 2 π x , e a altura é y , que representa a função x ( x - 1 ) ² :

Passo 3

Com isso, temos que o volume total é

V = ∫ 0 1 2 π x x x - 1 2 d x = 2 π ∫ 0 1 ( x 4 - 2 x 3 + x 2 ) d x = 2 π x 5 5 - 2 x 4 4 + x 3 3 0 1 = π 15

Resposta

V = π 15 .

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