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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 56

Se um fluido entra em um tanque semiesférico com raio de 3   m , a uma taxa de 0,5   m 3 / m i n , com que velocidade estará subindo quando a profundidade for de 1,5   m ? [Sugestão Veja o exercicio 55 .]

Passo 1

Bom galera, a gente começa tendo o valor da nossa derivada que é:

d v d t = 1 2   m 3 / m i n

E o volume da calota pode ser calculada como encontramos na questão 55 :

V = π 3 3 r h 2 - h 3

Passo 2

Belezinha, se a gente derivar a formula do volume, ela vai ter que dar o valor que já temos pela questão:

V = π 3 3 r h 2 - h 3

Primeiro derivamos:

→ d v d h = π 3 6 r h - 3 h 2

→ d v = π 3 6 r h - 3 h 2 ⋅ d h

Vamos forçar para aparecer d v / d t :

→ d v d t = π 3 6 r h - 3 h 2 ⋅ d h d t

Passo 3

Show de bola, vamos igualar agora com o que a questão deu:

d v d t = 1 2 = π 3 6 r h - 3 h 2 ⋅ d h d t

E aplicamos os valores que a questão também deu:

1 2 = π 3 6 10 5 - 3 5 2 ⋅ d h d t

→ 1 2 = π ( 3 ⋅ 5 2 ) ⋅ d h d t

Passo 4

Por fim, isolamos d h / d t que é nossa resposta:

1 2 = π 3 ⋅ 5 2 ⋅ d h d t

→ d h d t = 1 150 π   m / m i n

Resposta

1 150 π   m / m i n

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