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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 55

A figura abaixo mostra uma calota esférica de raio ρ e altura h cortada de uma esfera de raio r . Mostre que o volume V da calota pode ser expresso como:

V = 1 3 π h 2 ( 3 r - h )

V = π h 6 3 e 2 + h 2

Passo 1

Bom galera, vamos começar lembrando que o volume pode ser calculado em um sistema de cordenadas esféricos por:

d v = ∫ ∫ ∫ r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ

Onde temos as variáções:

ϕ : 0   a t é   2 π

θ : 0   a t é cos - 1 ⁡ R - h r

r : R - h   a t é   R

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = ∫ 0 2 π ∫ R - H r ∫ 0 cos - 1 ⁡ R - h r sin ⁡ θ d θ d r d ϕ

A gente resolve de dentro pra fora até encontrarmos:

→ V = ∫ 0 2 π ∫ R - H r 1 - R - h r d r d ϕ

→ V = ∫ 0 2 π r 3 3 - R - h r 2 2 d ϕ

→ V = 2 π r 3 3 - R - h r 2 2

Passo 3

Show de bola, mudando a posição das nossas variáveis a gente encontra:

V = π h 2 3 3 R - h

Passo 4

Tá quase acabando, por causa de pitagoras podemos dizer que:

e 2 = R 2 - R - h 2 = 2 R h - h 2

= 3 e 2 + h 2 = 6 R h - 2 h 2 = 2 h ( 3 R - h )

Com isso podemos mudar o que encontramos no passo 3:

V = π h 2 3 3 R - h

→ V = π h 6 3 e 2 + h 2

Prontinho, era só isso, nem é tão difícil né? 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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