Considere a soma

∑ k = 1 4 k + 1 3 - k 3 = 5 3 - 4 3 + 4 3 - 3 3 + 3 3 - 2 3 + 2 3 - 1 3 = 5 3 - 1 3 = 124

Para simplificar, listamos as parcelas em ordem invertida. Observe como o cancelamento possibilitou que a soma se retraísse como um telescópio. Dizemos que uma soma é telescópica quando uma parte de cada parcela cancela outra de alguma parcela vizinha, deixando somente partes da primeira e da última parcelas sem cancelar. Calcule as somas telescópicas neste exercícios.

∑ k = 2 20 1 k 2 - 1 k - 1 2

Passo 1

O exercício já tá dizendo que a soma é telescópica, então a gente já sabe que vão ter uns termos anulados pra facilitar nossa vida.

Vamos começar a escrever os termos que aí a gente já vai descobrir o que anula ou não. Repare que essa soma começa com k = 2 . Vamos fazer por ordem invertida igual ao exemplo...

∑ k = 2 20 1 k 2 - 1 k - 1 2

= 1 20 2 - 1 19 2 + 1 19 2 - 1 18 2 + … + 1 3 2 - 1 2 2 + 1 2 2 - 1 1 2

Vemos então que só vai sobrar:

1 20 2 - 1 =   - 399 400

E prontinho!

Resposta

- 399 400

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