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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 52

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 3 ,   - 1,1

Passo 1

Segundo a definição 5.4.5, a área líquida entre a curva de f ( x ) em [ a , b ] , em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 1 + 1 n = 2 n

x k * = - 1 + 2 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - 1 + 2 k n 3 2 n  

A = lim n → ∞ ⁡ 2 n ∑ k = 1 n 8 k 3 n 3 - 12 k 2 n 2 + 6 k n - 1  

A =   lim n → ∞ ⁡ 2 n 8 n 3 ∑ k = 1 n k 3 - 12 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 6 n ∑ k = 1 n k -   ∑ k = 1 n 1

Passo 3

Resolvendo os somatórios...

A = l i m n → ∞ 2 n 8 n 3 n 2 n + 1 2 4 - 12 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 6 n n n + 1 2 - n

A = l i m n → ∞ 2 n 2 n n + 1 2 - 2 n 2 n 2 + 3 n + 1 + 3 n + 1 - n  

A = l i m n → ∞ 2 n 2 n n 2 + 2 n + 1 - 4 n - 6 - 2 n + 3 n + 3 - n

A = l i m n → ∞ 2 n 2 n + 4 + 2 n - 4 n - 6 - 2 n + 2 n + 3  

A = l i m n → ∞ 4 + 8 n + 4 n 2 - 8 n 2 - 12 n - 4 n 2 - 4 + 6 n  

A = 0

Resposta

A = 0

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