Uma artista deseja criar uma escultura colando esferas uniformes. Ela cria uma base com formato retangular que tem 50 esferas de um lado e 30 esferas do outro. Então, cria camadas sucessivas colando esferas no sulco da camada precedente. Quantas esferas irá ter a escultura?

Passo 1

Aqui a gente tem um formato retangular, se a cada camada se coloca uma esfera no sulco da outra, temos que a quantidade vai diminuindo uma esfera por vez de cada lado. Fica assim:

50 ⋅ 30 + 49 ⋅ 29 + … + 22 ⋅ 2 + 21 ⋅ 1

Vamos chamar k o lado que começa com 30. O outro lado então é k + 20 .

A gente pode montar o somatório assim então:

∑ k = 1 30 k ( k + 20 )

Show! Agora é só resolver esse somatório e correr pro abraço!

Passo 2

∑ k = 1 30 k ( k + 20 )

= ∑ k = 1 30 k 2 + 20 k

=   ∑ k = 1 30 k 2 +   20 ∑ k = 1 30 k

= n n + 1 2 n + 1 6 + 20 n n + 1 2

= 30 30 + 1 2 ⋅ 30 + 1 6 + 20 30 30 + 1 2

= 5 31 61 + 10 ( 30 ) ( 31 )

= 9455 + 9300

= 18755

Prontinho! Esse é o total de esferas😉

Resposta

18755

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