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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 7

Se x = r c o s theta , y = r s e n theta , mostre que y ( d x // d t ) - x ( d y // d t ) = - r^2 ( d theta // d t )

Passo 1

Tá legal! Então, sabendo que theta depende do tempo, dessa forma, pela regra da cadeia, temos que:

(d x)/(d t) = (d x)/(d theta) . (d theta)/(d t)

(d y)/(d t) = (d y)/(d theta) . (d theta)/(d t)

Passo 2

Então vamos calcular as derivadas de x e de y com relação a theta , dessa forma, teremos:

(d x)/(d theta) = - r s e n theta

(d y)/(d theta) = r c o s theta

Passo 3

Agora nós vamos substituir os valores conhecidos, na parte esquerda da equação fornecida no enunciado, então, temos:

y ((d x)/(d t)) - x ((d y)/(d t)) = y ((d x)/(d theta) . (d theta)/(d t)) - x ((d y)/(d theta) . (d theta)/(d t))

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

r s e n theta (- r s e n theta . (d theta)/(d t)) - r c o s theta (r c o s theta . (d theta)/(d t)) = - r^2 s e n^2 theta . (d theta)/(d t) - r^2 cos^2 theta . (d theta)/(d t)

Colocando o termo - r^2 d theta // d t em evidência, temos:

- r^2 . (d theta)/(d t) (s e n^2 theta + cos^2 theta)

E, da relação trigonométrica fundamental, nós sabemos que s e n^2 theta + cos^2 theta = 1 , então a equação acima se reduz à:

- r^2 . (d theta)/(d t)

Que é exatamente o que o enunciado nos pediu pra mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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