Se x = rcos theta , y = rsen theta , mostre que y(dx/dt) - x(dy/dt) = -r^2(dtheta/dt)

Passo 1

Tá legal! Então, sabendo que θ depende do tempo, dessa forma, pela regra da cadeia, temos que:

d x d t = d x d θ . d θ d t

d y d t = d y d θ . d θ d t

Passo 2

Então vamos calcular as derivadas de x e de y com relação a θ , dessa forma, teremos:

d x d θ = - r s e n θ

d y d θ = r c o s θ

Passo 3

Agora nós vamos substituir os valores conhecidos, na parte esquerda da equação fornecida no enunciado, então, temos:

y d x d t - x d y d t = y d x d θ . d θ d t - x d y d θ . d θ d t

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

r s e n θ - r s e n θ . d θ d t - r c o s θ r c o s θ . d θ d t = - r 2 s e n 2 θ . d θ d t - r 2 cos 2 ⁡ θ . d θ d t

Colocando o termo - r 2 d θ / d t em evidência, temos:

- r 2 . d θ d t s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

E, da relação trigonométrica fundamental, nós sabemos que s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , então a equação acima se reduz à:

- r 2 . d θ d t

Que é exatamente o que o enunciado nos pediu pra mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados